Compito n. 9 (consegna venerdì 8 maggio 2026)

Test sulla media, dimensione dell’effetto e potenza del test

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

svolgere un test sulla media con varianza nota e interpretarne il risultato
calcolare e interpretare la dimensione dell’effetto (\(d\) di Cohen)
distinguere significatività statistica e significatività pratica
calcolare la potenza del test a partire da un’alternativa \(\mu_1\) specificata
calcolare la potenza a partire da una dimensione dell’effetto convenzionale di Cohen
ragionare sull’effetto dell’aumento della numerosità campionaria su errori di I e II tipo e potenza

Come svolgere e consegnare il compito

Il compito si svolge carta e penna.

Svolgi gli esercizi su un foglio, mostrando tutti i passaggi intermedi
Fotografa o scansiona il foglio e carica il file in risposta all’attività assegnata su Team entro la data di consegna fissata

Istruzioni per l’uso

Mostra sempre i passaggi intermedi: un risultato corretto senza procedimento non è valutabile
Per i calcoli di probabilità usa le tavole della funzione di ripartizione della normale standard \(\Phi(z)\)
Arrotonda i risultati intermedi a tre cifre decimali; i risultati finali a quattro cifre decimali

Test sulla media con varianza nota

Un ricercatore ipotizza che il benessere psicologico degli studenti universitari iscritti a Psicologia sia inferiore al valore normativo della popolazione generale adulta, fissato a \(\mu_0 = 62\). Vuole verificare questa ipotesi usando i dati del dataset.

Si sa che la varianza del benessere psicologico nella popolazione è nota: \(\sigma^2 = 36\) (quindi \(\sigma = 6\)). Su un campione di \(n = 36\) studenti si osserva una media campionaria \(\bar{x} = 60.8\).

a) Formula le ipotesi nulla e alternativa e spiega perché si tratta di un test unidirezionale sinistro.

\[H_0: \mu = 62 \qquad H_1: \mu < 62\]

b) Calcola l’errore standard della media e la statistica test: \[z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\]

c) Fissato \(\alpha = 0.05\), determina il valore critico \(z_\alpha\) e la regione di rifiuto. Per un test unidirezionale sinistro si rifiuta \(H_0\) se \(z_{obs} < -z_\alpha\).

d) Prendi la decisione statistica e calcola il p-value: \(p = P(Z < z_{obs})\). La decisione è coerente con il p-value?

e) Formula la conclusione in modo sostanziale: i dati forniscono evidenza sufficiente che il benessere degli studenti di Psicologia sia inferiore al valore normativo?

Dimensione dell’effetto e significatività pratica

a) Calcola la dimensione dell’effetto osservata usando la \(d\) di Cohen: \[d = \frac{|\bar{x} - \mu_0|}{\sigma}\]

b) Classificala secondo le soglie convenzionali di Cohen (\(d \approx 0.2\) piccolo, \(d \approx 0.5\) medio, \(d \approx 0.8\) grande). Cosa indica questo valore riguardo alla rilevanza pratica della differenza osservata?

c) Il test al punto 1 non ha portato al rifiuto di \(H_0\), eppure la differenza tra \(\bar{x} = 60.8\) e \(\mu_0 = 62\) potrebbe avere un significato clinico. Discuti la differenza tra significatività statistica e significatività pratica: in quali circostanze un risultato può essere statisticamente non significativo ma praticamente rilevante, e viceversa?

Richiamo: un risultato è statisticamente significativo se è improbabile sotto \(H_0\); è praticamente significativo se la differenza è abbastanza grande da avere conseguenze reali. I due giudizi non coincidono necessariamente.

Potenza del test

In tutti i punti che seguono si mantengono \(n = 36\), \(\sigma = 6\), \(\mu_0 = 62\), \(\alpha = 0.05\) (test unidirezionale sinistro). La regione di rifiuto corrisponde a \(\bar{X} < \bar{x}^*\), dove \(\bar{x}^*\) è il valore critico della media campionaria.

a) Ricava \(\bar{x}^*\) dalla condizione \(P(\bar{X} < \bar{x}^* \mid H_0) = 0.05\): \[\bar{x}^* = \mu_0 + z_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \text{con } z_\alpha = -1.645\]

Alternativa specificata

b) Supponi che il vero valore della media sia \(\mu_1 = 60\). Calcola:

la dimensione dell’effetto \(d = |\mu_1 - \mu_0| / \sigma\)
l’errore di II tipo: \(\beta = P(\bar{X} \geq \bar{x}^* \mid \mu = \mu_1)\)
la potenza \(1 - \beta\)

Per calcolare \(\beta\), standardizza \(\bar{x}^*\) sotto \(\mu_1\): \[z_\beta = \frac{\bar{x}^* - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}, \qquad \beta = 1 - \Phi(z_\beta)\]

Interpreta il risultato: con una potenza del 63.9%, quante volte su 100 ci aspettiamo che il test rilevi correttamente la differenza se il vero valore fosse \(\mu_1 = 60\)?

Alternativa ricavata dalla dimensione dell’effetto

c) Supponi di non conoscere \(\mu_1\), ma di ritenere che la differenza abbia una dimensione dell’effetto media secondo Cohen (\(d = 0.5\)). Ricava \(\mu_1\) invertendo la formula della \(d\): \[\mu_1 = \mu_0 - d \cdot \sigma\] (il segno negativo perché l’alternativa è a sinistra di \(\mu_0\)). Poi calcola \(\beta\) e la potenza con la stessa procedura del punto b).

d) Ripeti il calcolo per una dimensione dell’effetto piccola (\(d = 0.2\)). Ricava \(\mu_1\), poi calcola \(\beta\) e la potenza.

e) Riassumi i risultati dei punti b), c) e d) in una tabella e commentala:

\(\mu_1\)	\(d\)	\(\beta\)	Potenza
60.0	0.333	?	?
59.0	0.500	?	?
60.8	0.200	?	?

Come varia la potenza al variare della dimensione dell’effetto? Nota che \(\mu_1 = 60.8\) coincide con la media osservata nel test al punto 1: cosa ti dice la potenza corrispondente riguardo all’esito di quel test?

Effetto della numerosità campionaria

a) Ripeti il calcolo della potenza per \(d = 0.5\) (\(\mu_1 = 59\)) usando \(n = 100\) invece di \(n = 36\). Quanto aumenta la potenza rispetto al caso \(n = 36\)?

b) A parità di \(z_\alpha\), cosa succede all’errore di I tipo \(\alpha\) quando si aumenta \(n\)? E all’errore di II tipo \(\beta\)? I due tipi di errore si muovono nella stessa direzione o in direzioni opposte?

c) Discuti il compromesso nella scelta di \(n\): perché non è sufficiente aumentare indefinitamente la numerosità campionaria per risolvere il problema della significatività marginale? Cosa si rischia sul fronte della significatività pratica quando il campione è molto grande?

Criteri di valutazione:

correttezza dei calcoli e del procedimento (60%)
qualità delle risposte motivate (30%)
chiarezza espositiva (10%)