Compito n. 4 (consegna venerdì 10 aprile 2026)

La distribuzione normale: aree, quantili e verifica empirica

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

calcolare e interpretare media, deviazione standard, asimmetria e curtosi in chiave di normalità
calcolare aree sotto la curva normale usando il modulo distrACTION di Jamovi e le tavole della funzione di ripartizione
determinare il valore di un quantile della distribuzione normale
verificare empiricamente la regola 68-95-99.7% sul dataset
valutare la simmetria di coppie di quantili rispetto alla mediana come segnale di normalità

Come svolgere e consegnare il compito

Dataset disponibile sul Team della classe:

dataset_stress_psicologia.omv (formato Jamovi)
dataset_stress_psicologia.xlsx (formato MS-Excel)

Apri il dataset in Jamovi e svolgi le analisi richieste seguendo le istruzioni di ciascun esercizio. Per ogni esercizio troverai

Cosa produrre – la tabella o il grafico richiesto
Cosa scrivere – un breve commento da inserire nel report

Esporta il report finale in PDF tramite Esporta e caricalo in risposta all’attività assegnata su Team per questa settimana entro la data di consegna fissata
NOTA: per aggiungere testo nel report di Jamovi usa il menu Modifica e posiziona il cursore nella zona del report in cui vuoi scrivere

Istruzioni per l’uso

Svolgi il compito e consegnalo entro la data di consegna fissata
Per i calcoli con le tavole è sufficiente riportare il procedimento e il risultato nel commento; non è necessario allegare la tavola
Il modulo distrACTION si installa da Moduli -> Libreria moduli Jamovi se non è già presente
Se hai difficoltà su qualche punto prova a sfruttare la chat Team per chiedere chiarimenti e aiuto ai colleghi di corso

Descrittive e normalità

In questo compito lavoreremo sulla variabile Autostima, misurata con la Rosenberg Self-Esteem Scale (punteggi da 10 a 40, dove punteggi più alti indicano maggiore autostima).

Cosa produrre in Jamovi:

Vai su Analisi -> Esplorazione -> Descrittive
Seleziona la variabile Autostima
Attiva Media, Mediana, Deviazione standard, Asimmetria e Curtosi nella sezione Statistiche
Attiva Istogramma e Boxplot nella sezione Grafici
Nascondi tutti gli altri output mostrati per default

Commento da inserire nel report (7-10 righe)

Quanto si discostano media e mediana? In quale direzione suggerisce l’asimmetria (indice di Fisher)?
La curtosi è positiva o negativa? La distribuzione è leptocurtica o platicurtica rispetto alla normale?
Guardando l’istogramma e il boxplot: la distribuzione ti sembra approssimativamente normale? Quali elementi visivi supportano o contraddicono questa impressione?

Richiamo teorico: per una distribuzione normale perfetta, asimmetria = 0 e curtosi (in eccesso) = 0. In pratica, valori di asimmetria compresi tra -0.5 e +0.5 e di curtosi tra -1 e +1 sono considerati compatibili con la normalità.

Calcolo di aree sotto la curva normale

In tutti gli esercizi che seguono, tratta Autostima come se fosse distribuita normalmente con la media e la deviazione standard calcolate al punto precedente (\(\mu = 26.9\), \(\sigma = 4.8\)).

Per ogni calcolo:

Calcola il punteggio Z con la formula \(z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}\) e riportalo nel commento
Usa il modulo distrACTION di Jamovi (Analisi -> distrACTION): seleziona la distribuzione Normale, inserisci \(\mu = 26.9\) e \(\sigma = 4.8\), e specifica il tipo di area richiesto
Verifica il risultato usando le tavole della funzione di ripartizione \(\Phi(z)\): riporta nel commento il valore di \(z\), il valore letto in tavola e il risultato finale

Per ogni esercizio inserisci nel report: lo screenshot del pannello distrACTION, il procedimento con le tavole e un breve commento interpretativo.

Area a sinistra di un punto superiore alla media

Calcola \(P(X < 32)\), dove \(x = 32\) è un punteggio superiore alla media.

Commento (3-4 righe): Cosa rappresenta questa probabilità in termini sostanziali? Quale percentuale di studenti ha un punteggio di autostima inferiore a 32?

Area a destra di un punto superiore alla media

Calcola \(P(X > 32)\).

Commento (3-4 righe): Qual è la relazione tra questo risultato e quello dell’esercizio precedente? Cosa osservi?

Area a sinistra di un punto inferiore alla media

Calcola \(P(X < 22)\), dove \(x = 22\) è un punteggio inferiore alla media.

Commento (3-4 righe): Il valore di \(z\) è negativo. Come si usa la tavola in questo caso? Confronta questa area con quella dell’esercizio 2.1: cosa noti?

Area a destra di un punto inferiore alla media

Calcola \(P(X > 22)\).

Commento (3-4 righe): Quale percentuale di studenti ha un punteggio superiore a 22? Era il risultato che ti aspettavi?

Area compresa tra due punteggi

Calcola \(P(22 < X < 32)\), ovvero la probabilità che il punteggio di autostima cada nell’intervallo tra 22 e 32.

Suggerimento: \(P(a < X < b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\), dove \(z_a\) e \(z_b\) sono i punteggi Z corrispondenti ad \(a\) e \(b\).

Commento (4-5 righe): Circa quale percentuale degli studenti ha un punteggio di autostima compreso tra 22 e 32? Nota che 22 e 32 sono approssimativamente simmetrici rispetto alla media: questo ti aiuta a interpretare il risultato?

Area esterna a due punteggi

Calcola \(P(X < 22 \text{ oppure } X > 32)\), ovvero la probabilità di osservare un punteggio al di fuori dell’intervallo [22, 32].

Suggerimento: questa area è il complemento dell’esercizio precedente.

Commento (3-4 righe): Qual è la relazione numerica tra questo risultato e quello dell’esercizio 2.5? Cosa significa in termini di studenti con autostima particolarmente bassa o particolarmente alta?

Quantile inferiore alla mediana

Determina il valore di autostima \(x\) tale che il 20% degli studenti abbia un punteggio inferiore ad \(x\), ovvero trova il 20° percentile della distribuzione.

Suggerimento: dalla tavola individua \(z\) tale che \(\Phi(z) = 0.20\), poi ricava \(x = \mu + z \cdot \sigma\).

Commento (3-4 righe): Il valore trovato è inferiore o superiore alla media? Era il risultato che ti aspettavi? Perché il 20° percentile si trova necessariamente al di sotto della media (in una distribuzione normale)?

Quantile superiore alla mediana

Determina il valore di autostima \(x\) tale che l’80% degli studenti abbia un punteggio inferiore ad \(x\), ovvero trova il 80° percentile.

Commento (4-5 righe): Confronta il 20° e l’80° percentile con la media: sono equidistanti dalla media? Cosa suggerisce questo riguardo alla simmetria della distribuzione normale?

Verifica empirica della regola 68-95-99.7%

Per una distribuzione normale, il 68.3% dei valori cade nell’intervallo \([\mu - \sigma,\ \mu + \sigma]\), il 95.4% in \([\mu - 2\sigma,\ \mu + 2\sigma]\) e il 99.7% in \([\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma]\).

Verifichiamo quanto questa regola si applica ai dati reali di Autostima.

Cosa produrre in Jamovi:

Per ciascuno dei tre intervalli, crea una variabile indicatore usando Dati -> Calcola -> Nuova variabile:

In1SD con formula: Autostima >= 22.1 and Autostima <= 31.7
In2SD con formula: Autostima >= 17.3 and Autostima <= 36.5
In3SD con formula: Autostima >= 12.6 and Autostima <= 41.2

Poi vai su Analisi -> Esplorazione -> Descrittive, seleziona le tre variabili indicatore e attiva Media (la media di una variabile 0/1 è la proporzione di 1, cioè la percentuale di casi nell’intervallo).

Commento da inserire nel report (8-10 righe)

Riporta i risultati in una piccola tabella con tre righe (\(\pm 1\sigma\), \(\pm 2\sigma\), \(\pm 3\sigma\)) e due colonne (percentuale empirica, percentuale teorica):

Intervallo	% empirica	% teorica
\(\mu \pm 1\sigma\)	?	68.3%
\(\mu \pm 2\sigma\)	?	95.4%
\(\mu \pm 3\sigma\)	?	99.7%

Per quale intervallo l’accordo tra empirico e teorico è migliore? E per quale è peggiore?
Le discrepanze osservate ti sembrano compatibili con una distribuzione approssimativamente normale, oppure indicano una deviazione sostanziale?

Simmetria dei quantili rispetto alla mediana

In una distribuzione normale, i quantili simmetrici rispetto al 50° percentile sono equidistanti dalla mediana: ad esempio, il 10° e il 90° percentile distano dalla mediana esattamente lo stesso numero di punti.

Cosa produrre in Jamovi:

Vai su Analisi -> Esplorazione -> Descrittive
Seleziona Autostima
Nella sezione Statistiche attiva Mediana e i percentili personalizzati: inserisci i valori 10, 25, 35, 65, 75, 90
Nascondi tutti gli altri output mostrati per default

Commento da inserire nel report (8-10 righe)

Per ciascuna delle tre coppie di quantili simmetrici, calcola la distanza di ciascun quantile dalla mediana e compila la tabella:

Coppia	Quantile inferiore	Dist. da mediana	Quantile superiore	Dist. da mediana	Equidistanti?
Q10 – Q90	?	?	?	?	?
Q25 – Q75	?	?	?	?	?
Q35 – Q65	?	?	?	?	?

Le coppie di quantili risultano approssimativamente equidistanti dalla mediana? Quale coppia mostra la maggiore discrepanza?
Questo risultato è coerente con il valore dell’indice di asimmetria calcolato nella sezione 1?
In generale: se una distribuzione fosse fortemente asimmetrica, cosa ti aspetteresti di osservare nelle distanze dei quantili dalla mediana?

Criteri di valutazione:

correttezza tecnica delle analisi (50%)
qualità e pertinenza dei commenti (40%)
chiarezza espositiva (10%)