Compito n. 8 (consegna venerdì 29 aprile 2026)
Approssimazione normale della binomiale, distribuzione della media campionaria e test sulla media
Obiettivi di apprendimento
Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:
- approssimare probabilità binomiali con la distribuzione normale (teorema del limite centrale)
- determinare la distribuzione della media campionaria per un modello generatore bernoulliano
- applicare il teorema del limite centrale per la distribuzione della media campionaria
- impostare e svolgere un test di ipotesi sulla media con varianza nota (ipotesi unidirezionale)
- ragionare sulla regola di decisione nel caso di un’ipotesi bidirezionale
Il compito si svolge carta e penna.
- Svolgi gli esercizi su un foglio, mostrando tutti i passaggi intermedi
- Fotografa o scansiona il foglio e carica il file in risposta all’attività assegnata su Team entro la data di consegna fissata
- Mostra sempre i passaggi intermedi: un risultato corretto senza procedimento non è valutabile
- Per i calcoli di probabilità usa le tavole della funzione di ripartizione della normale standard \(\Phi(z)\)
- Arrotonda i risultati intermedi a tre cifre decimali; i risultati finali a quattro cifre decimali
Approssimazione normale della binomiale
Nel dataset, la proporzione di studenti che ha fatto ricorso ad aiuto psicologico è \(p = 0.22\). Si selezionano a caso \(n = 100\) studenti con rimessa.
Sia \(Y\) il numero di studenti del campione che ha fatto ricorso ad aiuto psicologico: \(Y \sim \text{Bin}(100,\, 0.22)\).
a) Calcola \(E[Y]\) e \(\text{Var}[Y]\) usando le formule del modello binomiale. Verifica che siano soddisfatte le condizioni di applicabilità dell’approssimazione normale (\(np \geq 5\) e \(n(1-p) \geq 5\)).
b) In virtù del teorema del limite centrale, \(Y\) può essere approssimato con una variabile normale. Scrivi esplicitamente la distribuzione approssimata: \(Y \approx N(\ldots,\, \ldots)\).
c) Usando l’approssimazione normale, calcola \(P(Y \leq 25)\).
Suggerimento: standardizza con \(z = \dfrac{y - np}{\sqrt{np(1-p)}}\) e usa le tavole di \(\Phi(z)\).
d) Calcola \(P(18 \leq Y \leq 28)\) usando l’approssimazione normale.
e) Interpreta il risultato del punto d): circa quale percentuale di campioni di 100 studenti ci aspettiamo contenga tra 18 e 28 studenti che hanno fatto ricorso ad aiuto psicologico?
Distribuzione della media campionaria
Modello generatore bernoulliano
Si consideri la variabile \(X_i = 1\) se lo studente \(i\)-esimo ha fatto ricorso ad aiuto psicologico, \(X_i = 0\) altrimenti, con \(p = 0.22\). Per una singola osservazione: \(E[X_i] = p = 0.22\) e \(\text{Var}[X_i] = p(1-p) = 0.1716\).
Si estrae un campione casuale di \(n = 64\) studenti con rimessa.
a) Scrivi la distribuzione della media campionaria \(\bar{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\), indicando esplicitamente \(E[\bar{X}]\), \(\text{Var}[\bar{X}]\) e l’errore standard \(\text{SE}[\bar{X}]\).
b) Per il teorema del limite centrale, con \(n = 64\) la distribuzione di \(\bar{X}\) è approssimativamente normale. Nota che in questo contesto \(\bar{X}\) coincide con la proporzione campionaria \(\hat{p}\). Scrivi la distribuzione approssimata.
c) Calcola \(P(\hat{p} > 0.27)\): qual è la probabilità di osservare una proporzione campionaria superiore a 0.27?
d) Calcola il valore \(\hat{p}^*\) tale che \(P(\hat{p} \leq \hat{p}^*) = 0.95\), ovvero il 95° percentile della distribuzione di \(\hat{p}\).
Modello generatore normale e teorema del limite centrale
La variabile Benessere_psicologico ha nella popolazione \(\mu = 62\) e \(\sigma^2 = 36\).
a) Si estrae un campione di \(n = 9\) studenti da una popolazione normale. Scrivi la distribuzione esatta di \(\bar{X}\) richiamando la proprietà riproduttiva della normale.
b) Si estrae un campione di \(n = 9\) studenti da una popolazione di forma ignota (non necessariamente normale), con gli stessi \(\mu\) e \(\sigma^2\). È legittimo usare l’approssimazione normale per \(\bar{X}\)? Motiva la risposta discutendo le condizioni di applicabilità del teorema del limite centrale.
c) Si aumenta la dimensione campionaria a \(n = 64\), mantenendo la popolazione di forma ignota. Scrivi la distribuzione approssimata di \(\bar{X}\) e calcola \(P(\bar{X} > 63.5)\).
d) Confronta l’errore standard con \(n = 9\) e con \(n = 64\). Di quale fattore si riduce passando da \(n = 9\) a \(n = 64\)? Cosa implica questo per la precisione della stima?
Test di ipotesi sulla media con varianza nota
Ricercatori in psicologia dell’educazione sostengono che gli studenti universitari italiani abbiano in media un livello di stress percepito superiore a 20 (il valore normativo della PSS nella popolazione generale adulta). Si vuole verificare questa ipotesi usando i dati del dataset.
Si sa che la varianza dello stress percepito nella popolazione è nota: \(\sigma^2 = 30\). Dal dataset si osserva una media campionaria \(\bar{x} = 21.4\) su un campione di \(n = 100\) studenti.
a) Formula le ipotesi nulla e alternativa. Spiega in una riga perché si tratta di un test unidirezionale destro.
\[H_0: \mu = 20 \qquad H_1: \mu > 20\]
b) Calcola la statistica test: \[z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\]
c) Fissato \(\alpha = 0.05\), determina il valore critico \(z_\alpha\) e la regione di rifiuto. Ricorda che per un test unidirezionale destro si rifiuta \(H_0\) se \(z_{obs} > z_\alpha\).
d) Prendi la decisione statistica e formulala in modo sostanziale: cosa concludi riguardo al livello di stress degli studenti del corso?
e) Calcola il p-value del test: \(p = P(Z > z_{obs})\). Il p-value è coerente con la decisione presa al punto d)?
Supponi ora che i ricercatori non avessero una direzione attesa a priori e avessero formulato l’ipotesi alternativa come \(H_1: \mu \neq 20\) (test bidirezionale).
Suggerimento: in un test bidirezionale al livello \(\alpha = 0.05\), la regione di rifiuto è divisa in due code. Il valore critico è \(z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96\), e si rifiuta \(H_0\) se \(|z_{obs}| > 1.96\).
f) Usando lo stesso \(z_{obs}\) calcolato al punto b), la decisione cambierebbe rispetto al test unidirezionale? Perché il test bidirezionale è più “conservativo” di quello unidirezionale nella stessa direzione?
Criteri di valutazione:
- correttezza dei calcoli e del procedimento (60%)
- qualità delle risposte motivate (30%)
- chiarezza espositiva (10%)