Compito n. 6 (consegna mercoledì 15 aprile 2026)

Fondamenti di probabilità: eventi, algebra e definizioni

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

identificare spazio campione ed eventi in un esperimento casuale
applicare le operazioni dell’algebra degli eventi (unione, intersezione, complemento)
riconoscere le relazioni tra eventi: incompatibilità, necessarietà e inclusione
costruire una partizione dello spazio campione
calcolare probabilità con la definizione classica, frequentista e soggettivista
verificare che una funzione di probabilità soddisfi i tre assiomi di Kolmogorov

Come svolgere e consegnare il compito

Il compito si svolge carta e penna.

Svolgi gli esercizi su un foglio, mostrando tutti i passaggi intermedi
Fotografa o scansiona il foglio e carica il file in risposta all’attività assegnata su Team entro la data di consegna fissata

Istruzioni per l’uso

Mostra sempre i passaggi intermedi: un risultato corretto senza procedimento non è valutabile
Per gli esercizi che richiedono una risposta motivata, sono sufficienti 3-5 righe chiare e precise
Dove utile, puoi supportare le risposte con diagrammi di Venn o tabelle

Spazio campione ed eventi

Si seleziona casualmente uno studente dal dataset del corso (N = 200). Per questo studente si osservano le variabili Sesso (M/F), Attività_fisica (Mai / Occasionale / Regolare) e Aiuto_psicologico (Sì / No).

a) Descrivi l’esperimento casuale e scrivi lo spazio campione \(\Omega\) considerando solo le variabili Sesso e Aiuto_psicologico. Quanti elementi contiene \(\Omega\)?

b) Definisci i seguenti eventi come sottoinsiemi di \(\Omega\):

\(A\) = “lo studente selezionato è femmina”
\(B\) = “lo studente selezionato ha fatto ricorso ad aiuto psicologico”
\(C\) = “lo studente selezionato è maschio e non ha fatto ricorso ad aiuto psicologico”

c) Scrivi esplicitamente gli eventi \(A^c\), \(A \cap B\), \(A \cup B\) come sottoinsiemi di \(\Omega\).

d) L’evento \(C\) coincide con uno degli eventi costruiti al punto c)? Quale?

Relazioni tra eventi

Considera lo spazio campione dell’esercizio precedente e i seguenti eventi aggiuntivi, definiti sulla variabile Attività_fisica:

\(D\) = “lo studente pratica attività fisica in modo regolare”
\(E\) = “lo studente non pratica mai attività fisica”
\(F\) = “lo studente pratica attività fisica (in modo occasionale o regolare)”

a) Gli eventi \(D\) ed \(E\) sono incompatibili? Motiva la risposta usando la definizione formale.

b) L’evento \(D\) è incluso nell’evento \(F\)? Dimostralo verificando la condizione \(D \subseteq F\).

c) Esiste un evento necessario in questo contesto? Scrivi un esempio e spiega perché è necessario richiamando la definizione.

d) Gli eventi \(D\), \(E\) e l’evento “lo studente pratica attività fisica in modo occasionale” formano una partizione di \(\Omega\) (rispetto alla sola variabile Attività_fisica)? Verifica le due condizioni richieste: mutua esclusività ed esaustività.

Definizioni di probabilità

Definizione classica

Nello spazio campione dell’Esercizio 1 (variabili Sesso e Aiuto_psicologico), assumendo che tutti gli esiti elementari siano equiprobabili:

a) Calcola \(P(A)\), \(P(B)\) e \(P(A \cap B)\).

b) Calcola \(P(A \cup B)\) usando la formula dell’addizione: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

c) Verifica il risultato del punto b) elencando direttamente gli esiti favorevoli ad \(A \cup B\).

Definizione frequentista

Nel dataset sono presenti le seguenti frequenze assolute:

	Aiuto psicologico: Sì	Aiuto psicologico: No	Totale
Femmina	30	94	124
Maschio	14	62	76
Totale	44	156	200

a) Usando la definizione frequentista, stima \(P(A)\), \(P(B)\) e \(P(A \cap B)\) dalle frequenze relative osservate.

b) Confronta i valori ottenuti con quelli calcolati sotto l’ipotesi di equiprobabilità (punto 3.1). I risultati coincidono? Se no, cosa significa?

c) Al crescere della dimensione campionaria, cosa afferma la definizione frequentista riguardo alla stabilizzazione delle frequenze relative? Questo principio ha un nome: quale?

Definizione soggettivista

a) Uno studente, prima di conoscere i dati del dataset, assegna soggettivamente \(P(\text{"uno studente scelto a caso ha fatto ricorso ad aiuto psicologico"}) = 0.30\). Dopo aver letto i dati nella tabella, come potrebbe aggiornare questa valutazione? La stima soggettiva iniziale era ottimistica o pessimistica rispetto ai dati?

b) Indica un contesto in psicologia in cui la definizione soggettivista di probabilità sarebbe l’unica applicabile (né quella classica né quella frequentista sarebbero appropriate). Motiva brevemente la risposta.

Assiomi di Kolmogorov

Considera il seguente esperimento: si chiede a uno studente scelto a caso di indicare il proprio livello di Supporto_sociale (Basso / Medio / Alto). Un collega propone la seguente assegnazione di probabilità:

Evento	Probabilità assegnata
\(P(\text{Basso})\)	0.25
\(P(\text{Medio})\)	0.45
\(P(\text{Alto})\)	0.35

a) Verifica se questa assegnazione soddisfa i tre assiomi di Kolmogorov. In caso negativo, indica quale assioma è violato e perché.

b) Proponi una correzione minimale che renda l’assegnazione coerente con gli assiomi, mantenendo il più possibile le proporzioni originali.

c) Usando l’assegnazione corretta al punto b), calcola la probabilità dell’evento \(G\) = “lo studente ha un livello di supporto sociale non basso”, cioè \(G = \{\text{Medio}\} \cup \{\text{Alto}\}\). Usa sia la definizione diretta sia il teorema del complemento (\(P(G) = 1 - P(G^c)\)) e verifica che i due risultati coincidano.

Criteri di valutazione:

correttezza dei calcoli e del procedimento (60%)
qualità delle risposte motivate (30%)
chiarezza espositiva (10%)