Compito n. 7 (consegna martedì 22 aprile 2026)

Probabilità condizionata, teorema di Bayes, test diagnostici e variabili casuali discrete

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

applicare i principali teoremi della probabilità (negazione, unione, intersezione)
calcolare e interpretare probabilità condizionate
verificare l’indipendenza tra due eventi
applicare il teorema delle probabilità totali e il teorema di Bayes
interpretare le prestazioni di un test diagnostico (sensibilità, specificità, falsi positivi e negativi)
lavorare con variabili casuali discrete: distribuzione uniforme, Bernoulli e binomiale

Come svolgere e consegnare il compito

Il compito si svolge carta e penna.

Svolgi gli esercizi su un foglio, mostrando tutti i passaggi intermedi
Fotografa o scansiona il foglio e carica il file in risposta all’attività assegnata su Team entro la data di consegna fissata

Istruzioni per l’uso

Mostra sempre i passaggi intermedi: un risultato corretto senza procedimento non è valutabile
Per gli esercizi che richiedono una risposta motivata sono sufficienti 3-5 righe chiare e precise
Dove utile, puoi supportare le risposte con diagrammi di Venn o tabelle di contingenza

Probabilità condizionata e indipendenza

Nel dataset del corso si osservano le variabili Sesso e Aiuto_psicologico. Le frequenze assolute sono riportate nella tabella seguente:

	Aiuto: Sì	Aiuto: No	Totale
Femmina	30	94	124
Maschio	14	62	76
Totale	44	156	200

Definisci gli eventi: \(F\) = “lo studente è femmina”, \(M\) = “lo studente è maschio”, \(A\) = “lo studente ha fatto ricorso ad aiuto psicologico”.

a) Calcola le probabilità marginali \(P(F)\), \(P(M)\), \(P(A)\) e \(P(A^c)\).

b) Calcola le probabilità condizionate \(P(A \mid F)\) e \(P(A \mid M)\). Interpreta i risultati: la probabilità di ricorrere ad aiuto psicologico è la stessa per maschi e femmine?

c) Verifica se \(A\) e \(F\) sono indipendenti usando il criterio \(P(A \mid F) = P(A)\). Poi verifica lo stesso usando il criterio equivalente \(P(A \cap F) = P(A) \cdot P(F)\). I due criteri danno la stessa risposta?

d) Calcola \(P(F \cup A)\) usando la formula dell’addizione e verifica il risultato contando direttamente gli esiti favorevoli nella tabella.

Teorema delle probabilità totali e teorema di Bayes

Nel dataset, la variabile Attività_fisica ha la seguente distribuzione: \(P(\text{Mai}) = 0.30\), \(P(\text{Occasionale}) = 0.42\), \(P(\text{Regolare}) = 0.28\).

Le probabilità condizionate di avere uno stress percepito elevato (punteggio \(> 26\)) nei tre gruppi sono:

\[P(\text{Stress elevato} \mid \text{Mai}) = 0.55 \qquad P(\text{Stress elevato} \mid \text{Occasionale}) = 0.35 \qquad P(\text{Stress elevato} \mid \text{Regolare}) = 0.15\]

a) Verifica che gli eventi “Mai”, “Occasionale” e “Regolare” formino una partizione di \(\Omega\): mostra che sono mutualmente esclusivi ed esaustivi. Poi verifica che, come conseguenza, le loro probabilità sommino a 1.

b) Usando il teorema delle probabilità totali, calcola la probabilità che uno studente scelto a caso abbia stress elevato: \(P(\text{Stress elevato})\).

c) Usando il teorema di Bayes, calcola \(P(\text{Regolare} \mid \text{Stress elevato})\): qual è la probabilità che uno studente con stress elevato pratichi attività fisica in modo regolare?

d) Confronta \(P(\text{Regolare})\) con \(P(\text{Regolare} \mid \text{Stress elevato})\). Il risultato era atteso? Cosa ci dice il confronto tra probabilità a priori e a posteriori?

Test diagnostici

Un questionario di screening per il disagio psicologico viene somministrato agli studenti del corso. Si sa che:

la prevalenza del disagio psicologico nella popolazione studentesca è \(P(D) = 0.20\)
la sensibilità del test è \(P(T^+ \mid D) = 0.85\) (probabilità di risultato positivo dato che il disturbo è presente)
la specificità del test è \(P(T^- \mid D^c) = 0.90\) (probabilità di risultato negativo dato che il disturbo è assente)

a) Calcola \(P(T^+ \mid D^c)\): qual è la probabilità di un falso positivo?

b) Costruisci la tabella di contingenza attesa su 1000 studenti, riportando il numero atteso di: veri positivi, falsi positivi, falsi negativi e veri negativi.

	\(D\) (disturbo presente)	\(D^c\) (disturbo assente)	Totale
\(T^+\) (test positivo)
\(T^-\) (test negativo)
Totale			1000

c) Usando il teorema di Bayes, calcola il valore predittivo positivo del test: \[P(D \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid D)\,P(D)}{P(T^+)}\] dove \(P(T^+)\) si ottiene dal teorema delle probabilità totali.

d) Il risultato del punto c) ti sorprende? Discuti il fenomeno del paradosso dei falsi positivi: perché anche con un test molto accurato il valore predittivo positivo può essere deludente quando la prevalenza è bassa?

e) Ricalcola \(P(D \mid T^+)\) ipotizzando che la prevalenza salga a \(P(D) = 0.40\). Come cambia il valore predittivo positivo? Cosa implica questo per l’uso clinico del test?

Variabili casuali discrete

Distribuzione uniforme discreta

Si lancia un dado a sei facce equilibrato. Sia \(X\) il risultato del lancio.

a) Scrivi la funzione massa di probabilità \(p(x) = P(X = x)\) per ogni valore possibile di \(X\).

b) Calcola \(E[X]\) e \(\text{Var}[X]\) usando le formule dirette: \[E[X] = \sum_x x\,p(x) \qquad \text{Var}[X] = \sum_x (x - E[X])^2\,p(x)\]

c) Il punteggio ottenuto viene moltiplicato per 5 e sottratto 3, ottenendo \(Y = 5X - 3\). Calcola \(E[Y]\) e \(\text{Var}[Y]\) usando le proprietà delle trasformazioni lineari. Poi verifica \(E[Y]\) usando la formula diretta su almeno due valori.

Variabile di Bernoulli

Si seleziona a caso uno studente dal dataset. Sia \(X = 1\) se lo studente ha fatto ricorso ad aiuto psicologico, \(X = 0\) altrimenti. Dal dataset si stima \(p = P(X=1) = 0.22\).

a) Scrivi la funzione massa di probabilità di \(X\) e calcola \(E[X]\) e \(\text{Var}[X]\).

b) Interpreta il valore atteso \(E[X]\): ha un significato probabilistico diretto?

Distribuzione binomiale

Si selezionano a caso \(n = 10\) studenti dal dataset in modo indipendente (estrazione con rimessa). Sia \(Y\) il numero di studenti che hanno fatto ricorso ad aiuto psicologico, con \(p = 0.22\).

a) Scrivi la distribuzione di \(Y\), specificando il modello e i parametri: \(Y \sim \ldots\)

b) Calcola \(P(Y = 0)\), \(P(Y = 1)\) e \(P(Y = 2)\) usando la formula: \[P(Y = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

c) Calcola \(P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0)\). Interpreta il risultato: su 10 studenti scelti a caso, qual è la probabilità che almeno uno abbia fatto ricorso ad aiuto psicologico?

d) Calcola \(E[Y]\) e \(\text{Var}[Y]\) usando le formule del modello binomiale (\(E[Y] = np\), \(\text{Var}[Y] = np(1-p)\)). Il valore atteso coincide con l’intuizione?

e) L’uso della distribuzione binomiale richiede che le estrazioni siano indipendenti e con probabilità costante \(p\). Nel contesto del campionamento dal dataset, queste condizioni sono soddisfatte rigorosamente? In quale condizione il campionamento senza rimessa può essere comunque approssimato con la binomiale?

Criteri di valutazione:

correttezza dei calcoli e del procedimento (60%)
qualità delle risposte motivate (30%)
chiarezza espositiva (10%)