Compito n. 5 (consegna venerdì 10 aprile 2026)
Combinazioni lineari di variabili casuali e distribuzione della media campionaria
Obiettivi di apprendimento
Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:
- applicare le regole per il calcolo di media e varianza di una combinazione lineare di variabili casuali
- lavorare con variabili indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) nel contesto del campionamento casuale
- determinare la distribuzione esatta della media campionaria quando la popolazione è normale (proprietà riproduttiva)
- applicare il teorema del limite centrale per approssimare la distribuzione della media campionaria e della somma
Il compito si svolge carta e penna.
- Svolgi gli esercizi su un foglio, mostrando tutti i passaggi intermedi
- Scansiona il foglio e carica il file in risposta all’attività assegnata su Team entro la data di consegna fissata
- Mostra sempre i passaggi intermedi: un risultato corretto senza procedimento non è valutabile
- Per i calcoli di probabilità usa le tavole della funzione di ripartizione della normale standard \(\Phi(z)\)
- Arrotonda i risultati intermedi a tre cifre decimali; i risultati finali a quattro cifre decimali
I parametri delle variabili del dataset usati in questo compito sono i seguenti:
| Variabile | \(\mu\) | \(\sigma^2\) | \(\sigma\) |
|---|---|---|---|
Stress_percepito |
20 | 30 | 5.48 |
Autostima |
27 | 23 | 4.80 |
Benessere_psicologico |
62 | 36 | 6.00 |
Combinazione lineare di variabili casuali
Siano \(X\) = Stress_percepito e \(Y\) = Autostima, con i parametri riportati in tabella. Si assuma che \(X\) e \(Y\) siano indipendenti.
Simboli utilizzati nel seguito:
- \(\mu_x = E[X]\) (media o valore atteso della variabile \(X\))
- \(\sigma^2_x = Var[X]\) (varianza della variabile \(X\))
Ricorda le regole generali: per qualsiasi \(a\), \(b\), \(c\) costanti,
\[\mu_{[aX + bY + c]} = E[aX + bY + c] = a\,E[X] + b\,E[Y] + c\]
\[\text{Var}[aX + bY + c] = a^2\,\text{Var}[X] + b^2\,\text{Var}[Y] \quad \text{(se } X \perp Y\text{) - indipendenti}\]
a) Calcola \(E[X + Y]\) e \(\text{Var}[X + Y]\).
Nota: \(X + Y\) può essere pensata come un ipotetico indice composito che somma il livello di stress e quello di autostima di uno studente.
b) Calcola \(E[X - Y]\) e \(\text{Var}[X - Y]\).
Nota: \(X - Y\) rappresenta quanto lo stress di uno studente supera la sua autostima. Un valore positivo indica che lo stress prevale sull’autostima.
c) Calcola \(E[3X + 2]\) e \(\text{Var}[3X + 2]\).
d) Una ricercatrice propone un indice composito di benessere definito come: \[W = -0.5\,X + 0.5\,Y\] Calcola \(E[W]\) e \(\text{Var}[W]\). Un valore positivo di \(W\) indica che l’autostima supera lo stress. Il valore atteso di \(W\) suggerisce che, in media, gli studenti del campione stanno “bene” o “male” secondo questo indice?
Campione casuale e distribuzione della media campionaria
Si estrae un campione casuale di \(n = 36\) studenti dalla popolazione. La variabile Benessere_psicologico ha nella popolazione \(\mu = 62\) e \(\sigma^2 = 36\).
a) Calcola il valore atteso \(E[\bar{X}]\) e la varianza \(\text{Var}[\bar{X}]\) della media campionaria. Calcola inoltre l’errore standard \(\text{SE}[\bar{X}] = \sigma/\sqrt{n}\).
b) Per il teorema del limite centrale, con \(n = 36\) possiamo approssimare la distribuzione di \(\bar{X}\) con una normale. Scrivi esplicitamente la distribuzione approssimata di \(\bar{X}\), indicando media e varianza.
c) Calcola \(P(\bar{X} > 63.5)\).
Suggerimento: standardizza \(\bar{X}\) con \(z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\), poi usa le tavole di \(\Phi(z)\).
d) Calcola \(P(60 < \bar{X} < 64)\).
e) Commenta i risultati: con un campione di 36 studenti, quanto è probabile osservare una media campionaria che si discosta di più di 2 punti dalla media di popolazione? Cosa succederebbe alla forma della distribuzione di \(\bar{X}\) se aumentassimo \(n\) a 100?
Proprietà riproduttiva e teorema del limite centrale
Si estrae un campione casuale di \(n = 25\) studenti dalla popolazione. Si assuma che Stress_percepito segua una distribuzione normale nella popolazione con \(\mu = 20\) e \(\sigma^2 = 30\).
a) Grazie alla proprietà riproduttiva della normale, qual è la distribuzione esatta di \(\bar{X}\)? Scrivi esplicitamente \(\bar{X} \sim \ldots\), indicando media e varianza.
b) Calcola \(P(\bar{X} > 21)\).
c) Sia \(S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{25}\) la somma dei punteggi di stress dei 25 studenti del campione. Qual è la distribuzione di \(S\)? (Suggerimento: ricorda che \(S = n\bar{X}\), oppure usa direttamente le proprietà delle combinazioni lineari di normali i.i.d.)
d) Calcola \(P(S > 510)\).
e) Supponi ora che Stress_percepito non sia distribuito normalmente nella popolazione, ma che la media e la varianza restino \(\mu = 20\) e \(\sigma^2 = 30\). Con \(n = 25\), la distribuzione di \(\bar{X}\) è ancora approssimativamente normale? Motiva la risposta richiamando il teorema del limite centrale. La risposta cambierebbe se \(n = 4\)?
Criteri di valutazione:
- correttezza dei calcoli e del procedimento (60%)
- qualità delle risposte alle domande interpretative (30%)
- chiarezza espositiva (10%)