HW 05 - Statistiche campionarie per problemi ad una popolazione

Data di consegna: giovedì 14 maggio 2026

Introduzione

In questo compito utilizzerai le regole e i comandi utili per:

identificare la statistica campionaria corretta a seconda del problema inferenziale (parametro di interesse e informazioni disponibili sulla popolazione)
scrivere la distribuzione campionaria di \(\bar{X}\), di \(S^2\) e di \(\hat{\pi}\) nei casi rilevanti per problemi ad una popolazione
calcolare probabilità e quantili delle distribuzioni normale, \(t\) di Student e \(\chi^2\) usando le funzioni pnorm, pt, pchisq e le loro inverse qnorm, qt, qchisq
visualizzare la forma di queste distribuzioni e il loro cambiamento al variare dei gradi di libertà

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

distinguere i quattro casi di inferenza sulla media e sulla varianza in un DGP normale (parametro noto vs. incognito) e associare a ciascuno la statistica pivotale corretta
riconoscere il ruolo della varianza campionaria corretta \(S^2\) come stimatore non distorto di \(\sigma^2\) e la sua distribuzione \(\chi^2\)
usare con padronanza le funzioni di distribuzione e i quantili di normale, \(t\) e \(\chi^2\) in R
costruire un quadro sinottico delle statistiche campionarie per problemi ad una popolazione

Istruzioni per l’uso

Esercizi carta e penna

Rispondi ai vari punti su un foglio in cui scrivi chiaramente cognome, nome e matricola e numero del compito: ad esempio nel mio caso sarebbe Vistocco Domenico, matricola 123456, soluzione compito #05
Per rispondere ad ogni punto scrivi chiaramente il punto cui stai rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, scrivi RISPOSTA PUNTO 1

Esercizi in R

Rispondi ai vari punti salvando le risposte in un file R con il nome “hw05_cognome_nome.R”: ad esempio nel mio caso il nome del file sarebbe “hw05_vistocco_domenico.R”.
Per rispondere ad ogni punto inserisci un’etichetta di sezione (che puoi inserire nello script usando la combinazione di tasti CTRL/CMD + SHIFT + R) utilizzando il punto cui stai rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 5 del compito, usa un’etichetta di sezione:
```
# PUNTO 5 ------------------------------------------------
```
Utilizza i commenti per rispondere alle domande in cui viene chiesta un’interpretazione da parte tua: lo script deve cioè essere funzionante quando si eseguono tutti i comandi con il pulsante Source.
Lo script viene valutato sia in base alla correttezza del codice che in base alla qualità (stile utilizzato per rendere lo script leggibile ed ordinato).

Esercizi

Parte 1: esercizi carta e penna

Esercizio 1

Il peso corporeo (in kg) degli adulti in una certa popolazione segue una distribuzione normale con media \(\mu\) incognita. Si estraggono campioni casuali da questa popolazione in due scenari distinti.

Scenario A — Da studi precedenti su popolazioni simili si sa che la deviazione standard è \(\sigma = 12\) kg (assunta nota).

Scenario B — Non si dispone di alcuna informazione sulla variabilità: sia \(\mu\) che \(\sigma^2\) sono incogniti.

Per ciascuno dei due scenari, scrivi la statistica campionaria che si usa per fare inferenza su \(\mu\) e indicane la distribuzione campionaria esatta, specificando tutti i parametri (o gradi di libertà).
In entrambi gli scenari, supponi \(n = 16\) e indica la distribuzione della statistica pivotale corrispondente. Cosa cambia tra Scenario A e Scenario B?

Statistica pivotale

Una statistica pivotale è una funzione del campione e del parametro di interesse la cui distribuzione campionaria è completamente nota (non dipende da parametri incogniti). Nei problemi di inferenza sulla media di un DGP normale, la statistica pivotale si costruisce standardizzando \(\bar{X}\): nel caso di varianza nota si divide per \(\sigma/\sqrt{n}\) ottenendo una \(N(0,1)\); nel caso di varianza incognita si sostituisce \(\sigma\) con la deviazione standard campionaria corretta \(S\), ottenendo una \(t\) di Student con \(n-1\) gradi di libertà. La statistica pivotale è lo strumento centrale per calcolare probabilità, costruire intervalli di confidenza ed eseguire test di ipotesi.

Nello Scenario A con \(n = 16\) e \(\mu = 70\) kg, calcola a mano:
1. \(P(\bar{X} > 74)\)
2. il valore \(c\) tale che \(P(\bar{X} \leq c) = 0{,}90\)
Standardizza opportunamente e usa le tavole della normale standard (o verifica con R).
Nello Scenario B con \(n = 16\) e \(\mu = 70\) kg, un campione fornisce \(\bar{x} = 73{,}2\) kg e \(s = 10{,}4\) kg (deviazione standard campionaria corretta). Calcola il valore osservato della statistica pivotale e commenta: sotto l’ipotesi \(\mu = 70\), il valore osservato si trova in una zona di alta o bassa probabilità della distribuzione campionaria?

Esercizio 2

Un produttore di componenti elettroniche afferma che la durata (in ore) dei suoi componenti segue una distribuzione normale. Si prelevano campioni per studiare la variabilità del processo produttivo in due scenari.

Scenario C — La durata media del processo produttivo è nota e pari a \(\mu = 500\) ore.

Scenario D — La durata media è incognita.

Per ciascuno scenario, scrivi la statistica campionaria che si usa per fare inferenza su \(\sigma^2\) e indicane la distribuzione campionaria esatta, specificando i gradi di libertà. Spiega perché i gradi di libertà differiscono nei due scenari.
Nel caso dello Scenario D, sia \(S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\) la varianza campionaria corretta. Ricorda il risultato visto a lezione e indica:
1. il valore atteso di \(S^2\): \(E(S^2) = \,?\)
2. perché \(S^2\) è preferita a \(\tilde{S}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\) come stimatore di \(\sigma^2\)
Nello Scenario D con \(n = 25\), un campione fornisce \(s^2 = 3\,600\) ore\(^2\). Scrivi il valore osservato della statistica pivotale per \(\sigma^2\).
Compila la seguente tabella riepilogativa inserendo, per ciascuna riga, la statistica campionaria e la sua distribuzione campionaria (con parametri o gradi di libertà):

Parametro	Informazione disponibile	Statistica campionaria	Distribuzione campionaria
\(\mu\)	\(\sigma^2\) nota
\(\mu\)	\(\sigma^2\) incognita
\(\sigma^2\)	\(\mu\) nota
\(\sigma^2\)	\(\mu\) incognita
\(\pi\)	—

Parte 2: esercizi in R

Esercizio 3

Esplora in R la distribuzione campionaria della media in un DGP normale, confrontando il caso di varianza nota (normale standard) e varianza incognita (\(t\) di Student).

Fissa \(\sigma = 12\), \(\mu = 70\) e considera tre dimensioni campionarie: \(n \in \{5, 16, 50\}\). Per ciascun \(n\), traccia su un unico grafico:
- la densità della distribuzione normale standard \(Z = (\bar{X} - \mu)/(\sigma/\sqrt{n})\) (linea continua nera)
- la densità della \(t\) di Student con \(n - 1\) gradi di libertà (linea tratteggiata rossa)
Disponi i tre grafici in un pannello \(1 \times 3\) con lo stesso asse \(x\) e \(y\) per tutti i pannelli, aggiungendo un titolo con il valore di \(n\).
Commenta: come cambia la differenza tra le due curve al crescere di \(n\)? A partire da quale dimensione campionaria le due distribuzioni diventano praticamente indistinguibili?
Usando le funzioni pnorm e pt, ricalcola in R le probabilità e i quantili dell’Esercizio 1, punti (c) e (d), e verifica i risultati ottenuti a mano.

Suggerimento

Per sovrapporre le due curve usa curve(dnorm(x), from = -4, to = 4) seguita da curve(dt(x, df = n-1), add = TRUE, lty = 2, col = "red").

Esercizio 4

Esplora in R la distribuzione \(\chi^2\) e il suo utilizzo per l’inferenza sulla varianza.

Traccia in un grafico diviso in quattro pannelli la densità della distribuzione \(\chi^2\) per i seguenti gradi di libertà: \(\nu \in \{3, 10, 25, 50\}\). Usa la funzione dchisq e adatta l’asse \(x\) a ciascun pannello. Aggiungi una linea verticale tratteggiata in corrispondenza del valore atteso \(E(\chi^2_\nu) = \nu\).
Commenta la forma della distribuzione: è simmetrica? Come cambia al crescere di \(\nu\)? Cosa osservi riguardo alla posizione del picco rispetto al valore atteso?
Con \(n = 25\) gradi di libertà (scenario D dell’Esercizio 2), usa pchisq e qchisq per calcolare:
1. il quantile al 95%: \(q\) tale che \(P(\chi^2_{24} \leq q) = 0{,}95\)
2. il quantile al 5%: \(q\) tale che \(P(\chi^2_{24} \leq q) = 0{,}05\)
3. la probabilità \(P(\chi^2_{24} \leq 36)\)
4. la probabilità \(P(13{,}8 \leq \chi^2_{24} \leq 36{,}4)\)
Il valore osservato della statistica pivotale calcolato nell’Esercizio 2, punto (c), cade all’interno o all’esterno dell’intervallo delimitato dai quantili al 5% e al 95%? Cosa significa questo in termini di compatibilità del campione osservato con l’ipotesi sul parametro?

Esercizio 5

Costruisci un grafico sinottico che riassuma visivamente le distribuzioni campionarie per i cinque casi del riepilogo ad una popolazione.

Crea un grafico diviso in cinque pannelli (disposti a tuo piacimento), uno per ciascuno dei casi della tabella dell’Esercizio 2d. In ogni pannello:
- traccia la densità della distribuzione campionaria della statistica pivotale per un valore di \(n\) a scelta (specificalo nel titolo)
- evidenzia con aree colorate le code di probabilità al 5% e al 95% (cioè le regioni \((-\infty, q_{0.05}]\) e \([q_{0.95}, +\infty)\))
- aggiungi un titolo che indichi il caso (es. "Media, sigma nota") e la distribuzione campionaria (es. "Z ~ N(0,1)")
Per il caso della proporzione campionaria \(\hat{\pi}\), fissa \(\pi = 0{,}40\) e \(n = 100\) e usa l’approssimazione normale (teorema di De Moivre–Laplace) per costruire il pannello corrispondente.

Suggerimento

Per colorare le code puoi usare polygon. Un possibile schema per colorare la coda destra di una \(t_{15}\):

x_tail <- seq(qt(0.95, df = 15), 5, length.out = 200)
polygon(c(x_tail, rev(x_tail)),
        c(dt(x_tail, df = 15), rep(0, length(x_tail))),
        col = rgb(1, 0, 0, 0.3), border = NA)

Consegna

Puoi inviare la tua soluzione scannerizzando i fogli relativi agli esercizi carta e penna, comprimendo il file ottenuto insieme al file .R in un file .zip e caricando il file in risposta al compito assegnato su Teams.
Puoi consegnare al docente il compito svolto in aula durante la lezione del martedì, stampando il file .R e consegnandolo insieme alle soluzioni agli esercizi numerici. In questo caso, in risposta al compito assegnato su Teams carica un file di testo o MS-Word scrivendo semplicemente consegnato in aula.

Valutazione

Totale punti disponibili: 110 punti

Componente	Punti
Es 1 - 5	100
Workflow & formattazione	10¹

Footnotes

La valutazione al “Workflow & formattazione” tiene conto:
- per gli esercizi carta e penna, dell’ordine con cui svolgi gli esercizi e delle argomentazioni date alle risposte aperte
- per gli esercizi su R, del principio di riproducibilità del codice: lo script caricato deve funzionare senza errori su qualunque PC dando gli stessi risultati↩︎