HW 02 - Schema inferenziale, modello binomiale e combinazioni lineari

Data di consegna: mercoledì 22 aprile 2026

Introduzione

In questo compito utilizzerai le regole e i comandi utili per:

riconoscere e descrivere il processo inferenziale e il modello generatore dei dati (DGP)
lavorare con il modello di Bernoulli e il modello binomiale
applicare le regole del valore atteso e della varianza a combinazioni lineari di variabili casuali
studiare la distribuzione della somma e della media campionaria come combinazioni lineari di variabili bernoulliane
esplorare la forma della distribuzione binomiale al variare di \(\pi\) e di \(n\)

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

descrivere il workflow inferenziale distinguendo modello scientifico, modello generatore e modello statistico
caratterizzare le osservazioni campionarie come variabili casuali i.i.d.
ricavare media e varianza di una combinazione lineare di variabili casuali indipendenti
derivare la distribuzione, il valore atteso e la varianza della somma campionaria e della media campionaria nel caso bernoulliano
calcolare probabilità binomiali con la formula e con R
visualizzare e interpretare la forma della binomiale al variare dei suoi parametri

Istruzioni per l’uso

Esercizi carta e penna

Rispondi ai vari punti su un foglio in cui scrivi chiaramente cognome, nome e matricola e numero del compito: ad esempio nel mio caso sarebbe Vistocco Domenico, matricola 123456, soluzione compito #01
Per rispondere ad ogni punto scrivi chiaramente il punto cui stai rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, scrivi RISPOSTA PUNTO 1

Esercizi in R

Rispondi ai vari punti salvando le risposte in un file R con il nome “hw01_cognome_nome.R”: ad esempio nel mio caso il nome del file sarebbe “hw01_vistocco_domenico.R”.
Per rispondere ad ogni punto inserisci un’etichetta di sezione (che puoi inserire nello script usando la combinazione di tasti CTRL/CMD + SHIFT + R) utilizzando il punto cui stai rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 5 del compito, usa un’etichetta di sezione:
```
# PUNTO 5 ------------------------------------------------
```
Utilizza i commenti per rispondere alle domande in cui viene chiesta un’interpretazione da parte tua: lo script deve cioè essere funzionante quando si eseguono tutti i comandi con il pulsante Source.
Lo script viene valutato sia in base alla correttezza del codice che in base alla qualità (stile utilizzato per rendere lo script leggibile ed ordinato).

Esercizi

Parte 1: esercizi carta e penna

Esercizio 1

Un’azienda farmaceutica produce compresse: in base a dati storici, la probabilità che una compressa non superi il collaudo di qualità è \(\pi = 0{,}08\). Si preleva un campione casuale di \(n = 6\) compresse.

Descrivi il modello generatore dei dati (DGP) per questo esperimento: qual è la popolazione di riferimento, qual è l’unità campionaria e quale variabile viene osservata su ciascuna unità?
Sia \(X_i\) la variabile casuale associata all’\(i\)-esima compressa del campione (\(i = 1, \ldots, 6\)). Indica la distribuzione di \(X_i\) specificandone il parametro e scrivi la sua funzione di massa di probabilità, il valore atteso e la varianza.
Esprimi la somma campionaria \(S = X_1 + X_2 + \cdots + X_6\) come combinazione lineare delle osservazioni. Usando le proprietà del valore atteso e della varianza per combinazioni lineari di variabili indipendenti, ricava \(E(S)\) e \(\text{Var}(S)\).
Esprimi la media campionaria \(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\) come combinazione lineare delle osservazioni. Ricava \(E(\bar{X})\) e \(\text{Var}(\bar{X})\) e interpreta i risultati in termini della quantità che stai stimando.
Calcola la probabilità che nessuna delle 6 compresse sia difettosa e la probabilità che esattamente 1 compressa sia difettosa, usando direttamente la formula della distribuzione binomiale.

Esercizio 2

In un comune, il 35% degli aventi diritto ha votato “Sì” a un referendum. Un sondaggista intervista \(n = 4\) elettori scelti casualmente e in modo indipendente.

Indica il modello probabilistico appropriato per il numero di elettori che hanno votato “Sì” nel campione, specificando parametri, valore atteso e varianza.
Costruisci la distribuzione di probabilità completa della variabile casuale \(X\) = “numero di ‘Sì’ nel campione”, calcolando \(P(X = k)\) per \(k = 0, 1, 2, 3, 4\).
Calcola \(P(X \leq 2)\) e \(P(X \geq 3)\) e verifica che le due probabilità sommino a 1.
Sia ora \(\hat{\pi} = X/n\) la frequenza relativa di “Sì” nel campione. Ricava la distribuzione di \(\hat{\pi}\), il suo valore atteso e la sua varianza, partendo dai risultati del punto (b). In quale relazione sta \(\hat{\pi}\) con la media campionaria \(\bar{X}\)?

Parte 2: esercizi in R

Esercizio 3

Considera una variabile casuale \(X \sim \text{Bin}(n, \pi)\). Esplora come cambia la forma della distribuzione al variare del parametro \(\pi\) tenendo fisso \(n\).

Fissa \(n = 30\) e costruisci un grafico diviso in cinque pannelli, uno per ciascuno dei seguenti valori del parametro: \(\pi \in \{0{,}10;\; 0{,}25;\; 0{,}50;\; 0{,}75;\; 0{,}90\}\). In ogni pannello rappresenta la distribuzione di probabilità con un grafico a bastoncini (type = "h"), aggiungendo un titolo che indichi il valore di \(\pi\).
Commenta brevemente: come cambia la forma (simmetria, asimmetria) della distribuzione al variare di \(\pi\)? Per quale valore di \(\pi\) la distribuzione è simmetrica?

Suggerimento

Usa par(mfrow = c(1, 5)) o par(mfrow = c(2, 3)) per disporre i pannelli, e la funzione dbinom per calcolare le masse di probabilità.

Esercizio 4

Considera una variabile casuale \(X \sim \text{Bin}(n, \pi)\) con \(\pi = 0{,}30\). Esplora come cambia la forma della distribuzione al crescere di \(n\).

Costruisci un grafico diviso in quattro pannelli, uno per ciascuno dei seguenti valori di \(n\): \(n \in \{5,\; 20,\; 50,\; 200\}\). In ogni pannello rappresenta la distribuzione di probabilità della variabile \(X\) con un grafico a bastoncini, aggiungendo un titolo che indichi il valore di \(n\).
Per ognuno dei quattro casi, sovrapponi al grafico a bastoncini la curva di una normale con media \(\mu = n\pi\) e varianza \(\sigma^2 = n\pi(1-\pi)\) (usa una linea di colore rosso).
Commenta brevemente: come cambia la forma della distribuzione al crescere di \(n\)? Quali analogie osservi tra la binomiale e la normale sovrapposta per valori grandi di \(n\)? Cosa suggerisce questo risultato (primo cenno al teorema del limite centrale)?

Suggerimenti

Usa dbinom per la massa di probabilità della binomiale e dnorm per la densità della normale.
Calcola un vettore di ascisse intere x <- 0:n per la binomiale e un vettore continuo per la normale.
Usa la funzione lines per sovrapporre la curva normale al grafico a bastoncini.

Esercizio 5

Riprendi il contesto dell’Esercizio 1 (compresse difettose, \(\pi = 0{,}08\), \(n = 6\)).

Calcola con R la distribuzione di probabilità completa di \(X \sim \text{Bin}(6,\; 0{,}08)\) e verifica che i valori ottenuti per \(P(X = 0)\) e \(P(X = 1)\) coincidano con quelli calcolati a mano nell’Esercizio 1, punto (e).
Calcola con R le seguenti probabilità:
1. \(P(X = 0)\)
2. \(P(X \leq 2)\)
3. \(P(X \geq 2)\)
4. \(P(1 \leq X \leq 4)\)
Rappresenta la distribuzione di probabilità di \(X\) con un grafico a bastoncini. Aggiungi al grafico una linea verticale tratteggiata in corrispondenza del valore atteso \(E(X)\) e un’etichetta che ne indichi il valore.
Considera ora la frequenza relativa di difettose \(\hat{\pi} = X/6\). Costruisci la distribuzione di probabilità di \(\hat{\pi}\) partendo da quella di \(X\) e rappresentala graficamente.

Suggerimento

Usa dbinom e pbinom per le probabilità. Per aggiungere una linea verticale usa abline(v = ...) e per l’etichetta usa text(...).

Consegna

Puoi inviare la tua soluzione scannerizzando i fogli relativi agli esercizi carta e penna, comprimendo il file ottenuto insieme al file .R in un file .zip e caricando il file in risposta al compito assegnato su Teams.
Puoi consegnare al docente il compito svolto in aula durante la lezione del martedì, stampando il file .R e consegnandolo insieme alle soluzioni agli esercizi numerici. In questo caso, in risposta al compito assegnato su Teams carica un file di testo o MS-Word scrivendo semplicemente consegnato in aula.

Valutazione

Totale punti disponibili: 110 punti

Componente	Punti
Es 1 - 5	100
Workflow & formattazione	10¹

Footnotes

La valutazione al “Workflow & formattazione” tiene conto:
- per gli esercizi carta e penna, dell’ordine con cui svolgi gli esercizi e delle argomentazioni date alle risposte aperte
- per gli esercizi su R, del principio di riproducibilità del codice: lo script caricato deve funzionare senza errori su qualunque PC dando gli stessi risultati↩︎