HW 07 - Stima intervallare

Data di consegna: lunedì 24 giugno 2024

Introduzione

In questo compito utilizzerai le regole e i comandi utili per:

  • effettuare una stima intervallare per la media, la varianza e la proporzione
  • determinare la numerosità ottimale necessaria ad ottenere un livello di precisione prefissato della stima intervallare

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

  • calcolare un intervallo di confidenza sulla media di una popolazione
  • calcolare un intervallo di confidenza sulla varianza di una popolazione
  • calcolare un intervallo di confidenza sulla proporzione di una popolazione

Istruzioni per l’uso

Esercizi carta e penna

  • Rispondi ai vari punti su un foglio in cui scrivi chiaramente cognome, nome e matricola e numero del compito: ad esempio nel mio caso sarebbe Vistocco Domenico, matricola 123467, soluzione compito #08

  • Per rispondere ad ogni punto scrivi chiaramente il punto cui sta rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, scrivi RISPOSTA PUNTO 1

Esercizi in R

  • Rispondi ai vari punti salvando le risposte in un file R con il nome “hw08_cognome_nome.R”: ad esempio nel mio caso il nome del file sarebbe “hw08_vistocco_domenico.R”.

  • Per rispondere ad ogni punto inserisci un’etichetta di sezione (che puoi inserire nello script usando la combinazione di testi CTRL/CMD + SHIFT + R) utilizzando il punto cui sta rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, usa un’etichetta di sezione:

    # PUNTO 1 ------------------------------------------------

  • Utilizza i commenti per rispondere alle domande in cui viene chiesta un’interpretazione da parte tua: lo script deve cioè essere funzionante quando si eseguono tutti i comandi con il pulsante Source.

  • Lo script viene valutato sia in base alla correttezza del codice che in base alla qualità (stile utilizzato per rendere lo script leggibile ed ordinato).

Esercizi

Parte 1: esercizi carta e penna

Esercizio 1

Un negozio di tinture vuole stimare la quantità esatta di tintura nei contenitori da 3.79 litri recentemente acquistati da un nuovo fornitore. Il fornitore assicura nel contratto che lo scarto quadratico medio della quantità di tintura è pari a 0.303 litri. Si seleziona un campione di 50 contenitori su cui si calcola una media pari a 3.67 litri.

  1. Calcola l’intervallo di confidenza al \(99\%\) per la quantità media reale di tintura nei contenitori da 3.79 litri.

  2. In base ai risultati si può affermare che il proprietario del negozio ha il diritto di lamentarsi con il fornitore? Motiva brevemente la risposta.

Esercizio 2

Si programma un’indagine per determinare le spese mediche familiari medie sostenute in un anno dagli impiegati di una grossa ditta. La direzione della ditta desidera che la media campionaria sia corretta entro un intervallo di \(\pm 50\) con una confidenza del \(95\%\). Uno studio pilota indica che lo scarto quadratico medio può essere considerato pari a € \(400\). Calcola la dimensione del campione necessaria.

Esercizio 3

La quantità di birra contenuta nelle bottiglie di una certa marca segue una distribuzione normale con media e varianza incognite. In un campione casuale di 20 bottiglie risulta:

  • \(\sum_{i=1}^{20} x_i = 642\) cl
  • \(\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 21225,51\) cl\(^2\)

  1. Calcola l’intervallo di confidenza al \(95\%\) per la media \(\mu\) della popolazione

  2. Come varierebbero gli estremi dell’intervallo nel caso di un livello di confidenza pari al \(99\%\)?

  3. Come varierebbero gli estremi dell’intervallo se i medesimi dati fossero riferiti ad un campione di \(n = 200\) bottiglie?

Esercizio 4

Su un campione di \(n = 15\) bottiglie da \(1lt\) di acqua si calcola un livello medio di calcio pari a 26.2 ed una varianza campionaria pari a 0.147.

  1. Calcola un intervallo di confidenza al \(99\%\) per la varianza della quantità di calcio contenuta nelle bottiglie da \(1lt\).

  2. Specifica le eventuali assunzioni necessarie per rispondere al punto precedente.

Esercizio 5

Il direttore della banca di una piccola città è interessato a stabilire la proporzione di depositanti che vengono pagati settimanalmente. Su un campione casuale di 50 depositanti, 15 affermano di essere depositati settimanalmente. Utilizzando un livello di confidenza del \(99\%\):

  1. Calcola la stima intervallare usando l’approssimazione con il metodo score (soluzione dell’equazione quadratica).

  2. Calcola la stima intervallare usando l’approssimazione con il metodo Wald (utilizzo della proporzione campionaria per stimare la varianza).

Parte 1: esercizi in R

Esercizio 6

Considera il dataset iris disponibile nel package datasets di R (caricato automaticamente all’avvio di R). Per informazioni sul contenuto della tabella usa la funzione help(iris).

  1. Scrivi i comandi R per calcolare un intervallo di confidenza per la media della variabile Petal.Length ipotizzando che la varianza della popolazione sia pari a 2

  2. Ripeti il punto precedente utilizzando la funzione MeanCI disponibile installando il package DescTools

  3. Scrivi i comandi R per calcolare un intervallo di confidenza per la media della variabile Petal.Length sfruttando la stima della varianza campionaria

  4. Ripeti il punto precedente utilizzando la funzione t.test

  5. Scrivi i comandi R per calcolare un intervallo di confidenza per la varianza della variabile Petal.Length

  6. Ripeti il punto precedente utilizzando la funzione VarCI disponibile installando il package DescTools

  7. Utilizzando la funzione t.test calcola un intervallo di confidenza per confrontare la media della variabile Petal.Length nei due gruppi di fiori Setosa e Versicolor

Suggerimento

Puoi effettuare il calcolo archiviando in due vettori i dati relativi ai due gruppi e sfruttando gli argomenti x e y della funzione, oppure puoi eliminare dalla tabella i fiori della specie versicolor ed utilizzare la sintassi di tipo formula (Sepal.Length ~ Species)

  1. Utilizzando la funzione var.test calcola un intervallo di confidenza per confrontare la varianza della variabile Petal.Length nei due gruppi di fiori Setosa e Versicolor
Suggerimento

Vedi il suggerimento precedente per il procedimento da seguire

  1. Utilizzando la funzione binom.test calcola un intervallo di confidenza con il metodo esatto per la proporzione di fiori con lunghezza del petalo (Petal.Length) minore di 5
Suggerimento

Consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input

  1. Utilizzando la funzione binomCi, disponibile installando il package DescTools, calcola un intervallo di confidenza con il metodo score (Wilson) per la proporzione di fiori con lunghezza del petalo (Petal.Length) minore di 5
Suggerimento

Consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input

  1. Utilizzando la funzione binomCi, disponibile installando il package DescTools, calcola un intervallo di confidenza con il metodo di Wald per la proporzione di fiori con lunghezza del petalo (Petal.Length) minore di 5
Suggerimento

Consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input

Consegna

  • Puoi inviare la tua soluzione scannerizzando i fogli relativi agli esercizi numerici, comprimendo il file ottenuto insieme al file .R in un file .zip e caricando il file in risposta al compito assegnato su Teams

  • Puoi consegnare al docente il compito svolto in aula durante la lezione del martedì, stampando il file .R e consegnandolo insieme alle soluzioni agli esercizi numerici. In questo caso in risposta al compito assegnato su Teams carica un file di testo o MS-Word scrivendo semplicemente consegnato in aula

Valutazione

Totale punti disponibili: 110 punti

Componente Punti
Es 1 - 6 100
Workflow & formattazione 101

Footnotes

  1. La valutazione al “Workflow & formattazione” tiene conto:
    - per gli esercizi carta e penna, dell’ordine con cui svolgi gli esercizi e delle argomentazioni date alle risposte aperte
    - per gli esercizi su R, del principio di riproducibilità del codice: lo script caricato deve funzionare senza errori su qualunque PC dando gli stessi risultati↩︎