HW 06 - Verifica di ipotesi (2)

Data di consegna: lunedì 24 giugno 2024

Introduzione

In questo compito utilizzerai le regole e i comandi utili per:

  • effettuare una verifica di ipotesi sulla varianza e sulla proporzione
  • effettuare un confronto tra due medie
  • effettuare un confronto tra due varianze
  • effettuare un confronto tra due proporzioni
  • effettuare un confronto tra tre o più medie (ipotesi di indipendenza in media)
  • verificare l’ipotesi di indipendenza assoluta
  • verificare l’ipotesi di assenza di correlazione lineare tra due variabili
  • verificare l’ipotesi di adattamento ad una distribuzione teorica

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

  • eseguire un test sulla varianza di una popolazione normale
  • eseguire un test sulla proporzione di una popolazione bernoulliana
  • eseguire un test per il confronto tra due medie di due popolazioni normali e di due popolazioni generiche
  • eseguire un test per il confronto tra due varianze di due popolazioni normali
  • eseguire un test ANOVA
  • eseguire un test sulla presenza di associazione tra due variabili qualitative
  • eseguire un test sulla presenza di correlazione lineare tra due variabili quantitative
  • eseguire un test per valutare l’adattamento di una distribuzione osservata ad una distribuzione teorica

Istruzioni per l’uso

Esercizi carta e penna

  • Rispondi ai vari punti su un foglio in cui scrivi chiaramente cognome, nome e matricola e numero del compito: ad esempio nel mio caso sarebbe Vistocco Domenico, matricola 123467, soluzione compito #08

  • Per rispondere ad ogni punto scrivi chiaramente il punto cui sta rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, scrivi RISPOSTA PUNTO 1

Esercizi in R

  • Rispondi ai vari punti salvando le risposte in un file R con il nome “hw08_cognome_nome.R”: ad esempio nel mio caso il nome del file sarebbe “hw08_vistocco_domenico.R”.

  • Per rispondere ad ogni punto inserisci un’etichetta di sezione (che puoi inserire nello script usando la combinazione di testi CTRL/CMD + SHIFT + R) utilizzando il punto cui sta rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, usa un’etichetta di sezione:

    # PUNTO 1 ------------------------------------------------

  • Utilizza i commenti per rispondere alle domande in cui viene chiesta un’interpretazione da parte tua: lo script deve cioè essere funzionante quando si eseguono tutti i comandi con il pulsante Source.

  • Lo script viene valutato sia in base alla correttezza del codice che in base alla qualità (stile utilizzato per rendere lo script leggibile ed ordinato).

Esercizi

Parte 1: esercizi carta e penna

Esercizio 1

E’ stata appena installata una macchina che deve controllare la quantità di nastro su un rocchetto. Questa macchina si può considerare efficiente se la deviazione standard della quantità di nastro selezionata non supera i 0.15 cm. Su un campione di 20 pezzi si rileva una varianza pari a 0.025.

  1. Valuta se è giustificato concludere che la macchina non è efficiente.

  2. Quali assunzioni sono necessarie per procedere al test di ipotesi richiesto al punto precedente?

  3. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 2

Il responsabile del centro che si occupa delle ambulanze ha dichiarato in una recente intervista che il 45% delle chiamate ricevute dal centro riguardano casi di pericoli di vita, percentuale che afferma essere più alta rispetto al passato. Per verificare l’attendibilità di tale dichiarazione viene selezionato dagli archivi un campione di 200 chiamate, 70 delle quali riguardano situazioni di pericoli di vita.

  1. Valuta se la dichiarazione del responsabile del centro può essere considerata attendibile ad un livello di significatività dell’1%.

  2. Calcola il p-value associato al test.

  3. Calcola la potenza del test considerando come ipotesi alternativa un valore pari al 40%.

Esercizio 3

In un campione di 12 famiglie in cui il capofamiglia è laureato si è rilevato un reddito medio annuo pari ad € 35000, mentre il valore del reddito medio su un campione di 15 famiglie in cui il capofamiglia è diplomato è pari ad € 28000. Dai dati storici risulta che lo scarto quadratico medio della popolazione sia pari a 4.24 per le famiglie con capofamiglia laureato, mentre sia pari a 4.94 nel caso di famiglie con capofamiglia diplomato.

  1. Tali dati consentono di affermare che esiste una differenza significativa nel reddito medio dei due gruppi? Usa un livello di significatività dell’1% per rispondere.

  2. Quali assunzioni sono necessarie per procedere al test di ipotesi richiesto al punto precedente?

  3. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 4

Il responsabile di produzione di una società che produce componenti elettroniche vuole stabilire se l’efficienza degli addetti varia a seconda del turno di lavoro. Vengono considerati 100 lavoratori del turno diurno e su questi si osserva una media di 74.3 pezzi assemblati all’ora con uno scarto quadratico medio pari a 16. Su altrettanti lavoratori del turno notturno si osserva una media di 69.7 pezzi assemblati all’ora con uno scarto quadratico medio pari a 18.

  1. Valuta ad un livello di significatività del 5% se esiste una differenza significativa tra l’efficienza medie dei lavoratori dei due turni.

  2. Quali assunzioni sono necessarie per procedere al test di ipotesi richiesto al punto precedente?

  3. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 5

Una società che produce software di tipo finanziario vuole valutare la bontà di un nuovo programma prima di lanciarlo sul mercato. La società desidera che, a parità di risultati e caratteristiche, il nuovo software sia significativamente più veloce rispetto a quello attualmente in circolazione. Si considerano a tal fine 10 applicazioni finanziarie per ciascuna delle quali si valuta il tempo richiesto dal vecchio e dal nuovo software. I dati raccolti sono riportati nella seguente tabella:

Applicazione finanziaria C.B. T.F. M.H. R.H. M.O. D.S. S.S. C.T. K.T. S.Z.
tempo implementazione vecchio software 9.98 9.88 9.84 9.99 9.94 9.84 9.86 10.12 9.90 9.91
tempo implementazione vecchio software 9.88 9.86 9.75 9.80 9.97 9.84 9.87 986 9.83 9.86

  1. Usando un livello di significatività del 5%, valuta se il nuovo software sia effettivamente più veloce di quello attualmente in uso.

  2. Quali assunzioni sono necessarie per procedere al test di ipotesi richiesto al punto precedente?

  3. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 6

Sei interessato a valutare le performance di un giocatore di basket professionista sui tiri liberi. Nell’arco di due stagioni consecutive il giocatore ha tirato due tiri liberi in 338 occasioni. In 251 di questa ha realizzato entrambi i tiri liberi, in 34 ha realizzato solo il primo tiro libero, in 48 occasioni ha sbagliato il primo tiro libero ma realizzato il secondo e in sole 5 occasioni ha sbagliato entrambi i tiri.

  1. Usando questi dati, verifica l’ipotesi che per il giocatore la probabilità di realizzare il primo canestro sia uguale alla probabilità di realizzare il secondo canestro. Rispondi usando il p-value.

  2. Usando questi dati, verifica l’ipotesi che per il giocatore la probabilità di realizzare il secondo canestro sia la stessa sia che abbia realizzato il primo sia che l’abbia sbagliato. Rispondi usando il p-value.

Esercizio 7

Un ricercatore ha somministrato due diversi tipi di farmaco a due gruppi di individui per studiarne gli effetti sul livello di colesterolo, ottenendo i seguenti risultati:

  • Farmaco 1: \(n = 10\), \(\bar{x}_1 = 180.5\), \(s^2_1 = 100.4\)
  • Farmaco 2: \(n = 10\), \(\bar{x}_2 = 170.7\), \(s^2_2 = 90.3\)

  1. Usando un livello di significatività dell’1%, valuta se la variabilità è significativamente diversa nei due gruppi.

  2. Quali assunzioni sono necessarie per procedere al test di ipotesi richiesto al punto precedente?

  3. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 8

Il nutrizionista di una squadra iscritta al Tour de France divide a caso 15 ciclisti in 3 gruppi da 5 e per tre settimane successive ne modifica l’alimentazione somministrando al primo gruppo delle vitamine con tutti i pasti ed al secondo gruppo dei cereali con alto contenuto di fibre. Il terzo gruppo è il gruppo di controllo e si alimenta normalmente. Alla fine del periodo i ciclisti vengono cronometrati su un percorso di 10 km ottenendo i seguenti tempi:

  • Vitamine: 15.6, 16.4, 17.2, 15.5, 16.3
  • Cereali: 17.1, 16.3, 15.8, 16.4, 16.0
  • Controllo: 15.9, 17.2, 16.4, 15.4, 16.8

  1. Questi dati sono compatibili con l’ipotesi che né le vitamine né i cereali ad alto contenuto di fibre influenzino le prestazioni dei ciclisti? Usa un livello di significatività del 5% per rispondere.

  2. Quali assunzioni sono necessarie per procedere al test di ipotesi richiesto al punto precedente?

  3. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 9

Un’associazione di consumatori, allo scopo di esaminare la qualità di tre diverse marche di batterie per automobili osserva la durata di 70 batterie della marca A, di 85 batterie della merca B e di 63 batterie della marca C. I risultati dell’indagine sono riportati nella seguente tabella:

Marca Durata bassa Durata media Durata alta
A 12 35 233
B 11 44 30
C 9 28 26

  1. Usando un livello di significatività dell’1%, valuta se i tre campioni osservati provengono da popolazioni omogenee.

  2. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 10

Nella tabella seguente viene presentata la distribuzione delle occupazioni occupate secondo il titolo di godimento (dati Istat, Censimento della popolazione, anno 2001):

Titolo di godimento Proprietà Affitto Altro titolo
Probabilità 0.71 0.20 0.09

Nel 2007, su un campione casuale di 2146 abitazioni, fu osservata la seguente distribuzione:

Titolo di godimento Proprietà Affitto Altro titolo
Frequenza 1627 373 146

  1. Usando un livello di significatività dell’1%, valuta se dal 2001 al 2007 è mutata la situazione degli alloggi riguardo al titolo di godimento.

  2. Quali assunzioni sono necessarie per procedere al test di ipotesi richiesto al punto precedente?

  3. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 11

Un test sugli effetti della privazione del sonno ha sottoposto 7 soggetti ad un esperimento sulla verifica della prontezza dei riflessi. Le informazioni utilizzate sono riportate nella seguente tabella:

Ore veglia prima del test 7.8 10.7 10.9 13.3 9.6 9.1 11.7
Tempo di reazione in secondi 0.195 0.321 0.369 0.385 0.269 0.227 0.309

  1. Verificare la significatività del coefficiente di correlazione lineare ad un livello di significatività dell’1 per mille.

  2. Calcola il p-value associato al test.

Parte 1: esercizi in R

Esercizio 12

Considera il dataset iris disponibile nel package datasets di R (caricato automaticamente all’avvio di R). Per informazioni sul contenuto della tabella usa la funzione help(iris).

  1. Scrivi i comandi R per effettuare un test di ipotesi per confrontare le medie della variabile Petal.Length nei due gruppi di fiori Setosa e Versicolor (ipotizzando che la varianza della popolazione sia pari a 3.5)
Suggerimento

Puoi rispondere al punto precedente sfruttando la funzione ZTest disponibile nel package DescTools (consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input)

  1. Ripeti il test nel caso in cui la varianza della popolazione non sia nota
Suggerimento

  • Puoi utilizzare la funzione t.test disponibile in R (consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input)

  • Puoi effettuare il calcolo archiviando in due vettori i dati relativi ai due gruppi e sfruttando gli argomenti x e y della funzione, oppure puoi eliminare dalla tabella i fiori della specie versicolor ed utilizzare la sintassi di tipo formula (Sepal.Length ~ Species)

  1. Utilizzando la funzione var.test effettua il test di omoschedasticità sulle varianze della variabile Petal.Length nei due gruppi di fiori Setosa e Versicolor
Suggerimento

Vedi il suggerimento precedente per il procedimento da seguire

  1. Utilizzando la funzione aov effettua un test per valutare se la lunghezza media del sepalo (Sepal.Length) sia uguale nei tre gruppi di fiori Setosa, Versicolor e Virginica
Suggerimento

Consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input

  1. Utilizzando la funzione cor.test valuta la significatività del coefficiente di correlazione lineare tra le variabili Sepal.Length e Sepal.Widht
Suggerimento

Consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input

Consegna

  • Puoi inviare la tua soluzione scannerizzando i fogli relativi agli esercizi numerici, comprimendo il file ottenuto insieme al file .R in un file .zip e caricando il file in risposta al compito assegnato su Teams

  • Puoi consegnare al docente il compito svolto in aula durante la lezione del martedì, stampando il file .R e consegnandolo insieme alle soluzioni agli esercizi numerici. In questo caso in risposta al compito assegnato su Teams carica un file di testo o MS-Word scrivendo semplicemente consegnato in aula

Valutazione

Totale punti disponibili: 110 punti

Componente Punti
Es 1 - 12 100
Workflow & formattazione 101

Footnotes

  1. La valutazione al “Workflow & formattazione” tiene conto:
    - per gli esercizi carta e penna, dell’ordine con cui svolgi gli esercizi e delle argomentazioni date alle risposte aperte
    - per gli esercizi su R, del principio di riproducibilità del codice: lo script caricato deve funzionare senza errori su qualunque PC dando gli stessi risultati↩︎