HW 05 - Verifica di ipotesi (1)

Data di consegna: lunedì 24 giugno 2024

Introduzione

In questo compito utilizzerai le regole e i comandi utili per:

  • effettuare una verifica di ipotesi
  • calcolare la probabilità di commettere errori in un processo di verifica di ipotesi
  • effettuare una verifica di ipotesi su una media di una popolazione normale
  • effettuare una verifica di ipotesi su una media di una generica popolazione

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

  • eseguire un test sulla media di una popolazione normale con varianza nota
  • eseguire un test sulla media di una popolazione normale con varianza incognita
  • eseguire un test sulla media di una generica popolazione
  • calcolare la probabilità di commettere un errore di primo tipo associato ad una data regola decisionale
  • calcolare la probabilità di commettere un errore di secondo tipo associato ad una data regola decisionale

Istruzioni per l’uso

Esercizi carta e penna

  • Rispondi ai vari punti su un foglio in cui scrivi chiaramente cognome, nome e matricola e numero del compito: ad esempio nel mio caso sarebbe Vistocco Domenico, matricola 123467, soluzione compito #08

  • Per rispondere ad ogni punto scrivi chiaramente il punto cui sta rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, scrivi RISPOSTA PUNTO 1

Esercizi in R

  • Rispondi ai vari punti salvando le risposte in un file R con il nome “hw08_cognome_nome.R”: ad esempio nel mio caso il nome del file sarebbe “hw08_vistocco_domenico.R”.

  • Per rispondere ad ogni punto inserisci un’etichetta di sezione (che puoi inserire nello script usando la combinazione di testi CTRL/CMD + SHIFT + R) utilizzando il punto cui sta rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, usa un’etichetta di sezione:

    # PUNTO 1 ------------------------------------------------

  • Utilizza i commenti per rispondere alle domande in cui viene chiesta un’interpretazione da parte tua: lo script deve cioè essere funzionante quando si eseguono tutti i comandi con il pulsante Source.

  • Lo script viene valutato sia in base alla correttezza del codice che in base alla qualità (stile utilizzato per rendere lo script leggibile ed ordinato).

Esercizi

Parte 1: esercizi carta e penna

Esercizio 1

Si vuole studiare la durata di un processo produttivo che dal materiale grezzo porta al prodotto finito. Il venditore del meccanismo sostiene che la durata del processo si distribuisce normalmente con media pari ad 11 ore e scarto quadratico medio pari a 4 ore. L’acquirente, sulla base della valutazione di un esperto, sospetta invece che la durata media del processo sia di 14 ore.

Si mettono allora in produzione 16 pezzi e si decide che il meccanismo verrà acquistato soltanto se la durata media della produzione nel campione è inferiore a 13 ore.

  1. Scrivi l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa.

  2. Calcola la probabilità di commettere un errore di I specie (\(\alpha\)).

  3. Calcola la probabilità di commettere un errore di II specie (\(\alpha\)).

Esercizio 2

L’organizzazione Educational Testing Service (ETS) prepara e somministra i test SAT sulle capacità linguistiche e matematiche degli studenti richieste in ingresso da molte università. La struttura dell’esame è stata recentemente modificata e si sostiene che l’esame possa essere terminato entro un tempo medio di 120 minuti. Per un campione di 50 candidati è stato registrato il tempo medio di compilazione che è risultato essere pari a 115 minuti. Si suppone che lo scarto quadratico medio sia pari a 2 minuti.

  1. Effettua un test di ipotesi fissando \(\alpha = 0.05\) per verificare se il tempo medio di compilazione è cambiato.

  2. Calcola il p-value.

Esercizio 3

Un ristorante fast-food incassa in media € 2000 per ogni giorno lavorativo. Per capire se il giro d’affari è cambiato a causa della recessione (che potrebbe essere un fattore positivo o negativo per il settore dei fast-food), il management del ristorante ha deciso di studiare attentamente i valori degli incassi degli ultimi 8 giorni, che sono risultati pari a:

2050, 2212, 1880, 2121, 2205, 2018, 1980, 2188

  1. C’è sufficiente evidenza empirica, ad un livello di significatività del 5%, per ritenere che ci sia stato un cambiamento?

  2. Quali assunzioni sono necessarie per procedere al test di ipotesi richiesto al punto precedente?

  3. Calcola il p-value associato al test.

Esercizio 4

Un’azienda accetta una fornitura di batterie solo dopo averne verificato un campione casuale di 9 unità. Ciò che interessa è la durata media effettiva delle batterie della fornitura sia di almeno 50 ore. Dall’esperienza passata si può ragionevolmente concludere che la distribuzione delle batterie sia normale, con deviazione standard di 3 ore. Per una determinata fornitura, su un campione casuale di 9 batterie si è registrata una durata media di 48.2 ore.

  1. Verica l’ipotesi che la durata media delle batterie sia di almeno 50 ore ad un livello di significatività del 5%.

  2. Calcola la potenza del test nel caso in corrispondenza di un’ipotesi alternativa per cui la durata media effettiva delle batterie è pari a 49 ore.

Parte 1: esercizi in R

Esercizio 5

Considera il dataset iris disponibile nel package datasets di R (caricato automaticamente all’avvio di R). Per informazioni sul contenuto della tabella usa la funzione help(iris).

  1. Scrivi i comandi R per effettuare un test di ipotesi sulla variabile Petal.Length per verificare l’ipotesi nulla che la lunghezza media di un petalo di fiore di tipo iris sia almeno pari a 3.5 (ipotizzando che la varianza della popolazione sia pari a 3.5)
Suggerimento

Puoi rispondere al punto precedente sfruttando la funzione ZTest disponibile nel package DescTools (consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input)

  1. Calcola la potenza del test per i seguenti valori dell’ipotesi alternativa: 3.6, 4.5 e 6

  2. Ripeti il test nel caso in cui la varianza della popolazione non sia nota

Suggerimento

Puoi utilizzare la funzione t.test disponibile in R (consulta l’help della funzione e calcola i valori necessari da utilizzare in input)

Consegna

  • Puoi inviare la tua soluzione scannerizzando i fogli relativi agli esercizi numerici, comprimendo il file ottenuto insieme al file .R in un file .zip e caricando il file in risposta al compito assegnato su Teams

  • Puoi consegnare al docente il compito svolto in aula durante la lezione del martedì, stampando il file .R e consegnandolo insieme alle soluzioni agli esercizi numerici. In questo caso in risposta al compito assegnato su Teams carica un file di testo o MS-Word scrivendo semplicemente consegnato in aula

Valutazione

Totale punti disponibili: 110 punti

Componente Punti
Es 1 - 5 100
Workflow & formattazione 101

Footnotes

  1. La valutazione al “Workflow & formattazione” tiene conto:
    - per gli esercizi carta e penna, dell’ordine con cui svolgi gli esercizi e delle argomentazioni date alle risposte aperte
    - per gli esercizi su R, del principio di riproducibilità del codice: lo script caricato deve funzionare senza errori su qualunque PC dando gli stessi risultati↩︎