HW 04 - Funzione di verosimiglianza e stima di massima verosiglianza

Data di consegna: lunedì 16 ottobre 2023

Introduzione

In questo compito utilizzerai le regole e i comandi utili per:

  • gestire la distribuzione campionaria della statistica somma campionaria
  • gestire la distribuzione campionaria della statistica media campionaria
  • gestire la distribuzione campionaria della statistica varianza campionaria
  • gestire la distribuzione campionaria della statistica varianza campionaria corretta

Obiettivi di apprendimento

Lo svolgimento di questo compito ti permetterà di:

  • calcolare media e varianza delle principali statistiche campionarie (media, somma e varianza)
  • calcolare e rappresentare la distribuzione campionaria (esatta) delle principali statistiche campionarie (media, somma e varianza)
  • sfruttare il teorema del limite centrale per derivare la distribuzione asintotica di una statistica campionaria
  • confrontare la distribuzione campionaria esatta di una statistica con quella asintotica

Istruzioni per l’uso

Esercizi carta e penna

  • Rispondi ai vari punti su un foglio in cui scrivi chiaramente cognome, nome e matricola e numero del compito: ad esempio nel mio caso sarebbe Vistocco Domenico, matricola 123467, soluzione compito #02

  • Per rispondere ad ogni punto scrivi chiaramente il punto cui sta rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 1 del compito, scrivi RISPOSTA PUNTO 1

Esercizi in R

  • Rispondi ai vari punti salvando le risposte in un file R con il nome “hw02_cognome_nome.R”: ad esempio nel mio caso il nome del file sarebbe “hw02_vistocco_domenico.R”.

  • Per rispondere ad ogni punto inserisci un’etichetta di sezione (che puoi inserire nello script usando la combinazione di testi CTRL/CMD + SHIFT + R) utilizzando il punto cui sta rispondendo. Ad esempio, per rispondere al punto 5 del compito, usa un’etichetta di sezione:

    # PUNTO 1 ------------------------------------------------

  • Utilizza i commenti per rispondere alle domande in cui viene chiesta un’interpretazione da parte tua: lo script deve cioè essere funzionante quando si eseguono tutti i comandi con il pulsante Source.

  • Lo script viene valutato sia in base alla correttezza del codice che in base alla qualità (stile utilizzato per rendere lo script leggibile ed ordinato).

Esercizi

Parte 1: esercizi carta e penna

Esercizio 1

L’80% dei prelievi di una grande banca effettuati utilizzando gli sportelli bancomat è relativi ad importi infereri ai 300 € (classificati come prelievi di basso importo).

  1. Descrivi il comportamento della statistica proporzione campionaria dei prelievi di basso importo in un campione di \(n = 200\) prelievi (distribuzione campionaria della statistica, media e varianza della statistica)

  2. Qual è la probabilità che nel campione di \(n = 200\) la frazione di prelievi di basso importo sia superiore al 70%?

  3. Qual è la probabilità che la frazione di prelievi di basso importo sia compreso tra il 70% e l’80%:

    1. in un campione di 30 prelievi
    2. in un campione di 50 prelievi
    3. in un campione di 100 prelievi
    4. commenta brevemente i risultati ottenuti ai punti a, b e c
Esercizio 2

In una popolazione di nati maschi, il peso alla nascita ha una distribuzione che si presta ad essere ben descritta da una legge normale con media 3500 grammi e scarto quadratico medio 1400 grammi.

  1. Descrivi il comportamento della statistica media campionaria del peso dei nati maschi in un campione di \(n = 50\) unità (distribuzione campionaria della statistica, media e varianza della statistica)

  2. Qual è la probabilità che in un campione di \(n = 50\) il peso medio sia maggiore di 4000 grammi?

  3. Qual è l’intervallo di valori intorno alla media \(\mu = 3500\) della popolazione entro cui ci si può aspettare che cada il peso medio dei nati maschi in un campione di \(n = 50\)?

  4. Qual è la probabilità che il peso medio sia compreso tra 3400 e 3600 grammi:

    1. in un campione di 30 bambini
    2. in un campione di 50 bambini
    3. in un campione di 100 bambini
    4. commenta brevemente i risultati ottenuti ai punti a, b e c

Parte 1: esercizi in R

Esercizio 3

Considera il seguente esperimento probabilistico: estrai per n volte con rimessa una carta da un mazzo di carte napoletane scommettendo sull’evento carta di denaro.

  1. Costruisci un grafico per rappresentare la distribuzione di probabilità del numero di successi in \(n = 30\) prove

  2. Calcola il valore atteso e la varianza della distribuzione di probabilità della variabile casuale numero di successi in \(n = 30\) prove

  3. Utilizzando la distribuzione esatta della variabile casuale numero di successi in \(n\) prove calcola la probabilità che la variabile assuma valori nell’intervallo \([\mu - \sigma, \mu + \sigma]\) per i seguenti valori di \(n\):

    1. \(n = 30\)
    2. \(n = 50\)
    3. \(n = 60\)
    4. \(n = 300\)

  4. Utilizzando la distribuzione asintotica della variabile casuale numero di successi in \(n\) prove calcola la probabilità che la variabile assuma valori nell’intervallo \([\mu - \sigma, \mu + \sigma]\) per i seguenti valori di \(n\):

    1. \(n = 30\)
    2. \(n = 50\)
    3. \(n = 60\)
    4. \(n = 300\)

  5. Commenta brevemente i risultati ottenuti al punto (c) e al punto (d)

Suggerimento

Sfrutta la funzione dbinom per la massa di probabilità della v.c. binomiale e la funzione pnorm per la funzione di ripartizione della v.c. normale

Esercizio 4

Confronta l’andamento della v.c. \(\chi^2_g\) con l’andamento di una v.c. normale per i seguenti valori del parametro \(g\) (gradi di libertà) della v.c. \(\chi^2_g\):

  • \(g = 10\)
  • \(g = 50\)
  • \(g = 100\)
  • \(g = 500\)

costruendo un grafico diviso in quattro pannelli e rappresentando in ciascun pannello la v.c. \(\chi^2_g\) e sovraimponendo una curva normale (usa una linea di colore nero per la \(\chi^2_g\) e una linea di colore rosso per la normale)

Suggerimenti
  1. Sfrutta la funzione chisq per la funzione di densità della v.c. \(\chi^2_g\) e la funzione dnorm per la funzione di densità della v.c. normale
  2. Calcola un vettore \(x\) di ascisse per ciascuna delle quattro coppie di variabili da rappresentare tenendo conto dei corrispondenti valori
  3. Sfrutta la funzione lines per sovraimporre una linea su un grafico costruito con la funzione plot
  4. Nel rappresentare i vari modelli normali sui grafici tieni che:
    • \(E(\chi^2_g) = g\)
    • \(Var(\chi^2_g) = 2 g\)
Esercizio 5

Ripeti l’esercizio precedente ma rappresentando le quattro curve \(\chi^2_g\) e la curva normale su uno stesso grafico usando cinque linee di colore differente

Suggerimenti
  1. Standardizza le variabili per rappresentarle sullo stesso grafico
  2. Sfrutta la funzione legend per aggiungere un grafico un’opportuna legenda che permetta di identificare le cinque v.c.

Consegna

  • Puoi inviare la tua soluzione scannerizzando i fogli relativi agli esercizi numerici, comprimendo il file ottenuto insieme al file .R in un file .zip e caricando il file in risposta al compito assegnato su Teams

  • Puoi consegnare al docente il compito svolto in aula durante la lezione del martedì, stampando il file .R e consegnandolo insieme alle soluzioni agli esercizi numerici. In questo caso in risposta al compito assegnato su Teams carica un file di testo o MS-Word scrivendo semplicemente consegnato in aula

Valutazione

Totale punti disponibili: 110 punti

Componente Punti
Es 1 - 5 100
Workflow & formattazione 101

Footnotes

  1. La valutazione al “Workflow & formattazione” tiene conto:
    - per gli esercizi carta e penna, dell’ordine con cui svolgi gli esercizi e delle argomentazioni date alle risposte aperte
    - per gli esercizi su R, del principio di riproducibilità del codice: lo script caricato deve funzionare senza errori su qualunque PC dando gli stessi risultati↩︎