Esercizi autovalutazione settimana #07

Stimatori, intervalli di confidenza per problemi ad una popolazione e a due popolazioni

Siano \(T_n\) e \(U_n\) due stimatori non distorti di \(\theta\). Come si definisce l’efficienza relativa di \(T_n\) rispetto a \(U_n\), e cosa significa che \(T_n\) è consistente?

L’efficienza relativa è \(e(T_n, U_n) = \mathrm{Var}(U_n)/\mathrm{Var}(T_n)\); \(T_n\) è consistente se \(T_n \xrightarrow{P} \theta\) al crescere di \(n\).L’efficienza relativa è \(e(T_n, U_n) = \mathrm{Var}(T_n)/\mathrm{Var}(U_n)\); \(T_n\) è consistente se \(\mathrm{E}[T_n] \to \theta\) al crescere di \(n\).L’efficienza relativa è \(e(T_n, U_n) = \mathrm{E}[T_n]/\mathrm{E}[U_n]\); \(T_n\) è consistente se la sua distribuzione campionaria converge alla normale.L’efficienza relativa è \(e(T_n, U_n) = \mathrm{Var}(U_n)/\mathrm{Var}(T_n)\); \(T_n\) è consistente se \(\mathrm{Var}(T_n) \to 0\) al crescere di \(n\).

L’efficienza relativa di \(T_n\) rispetto a \(U_n\) è il rapporto delle varianze con \(U_n\) al numeratore: \[e(T_n, U_n) = \frac{\mathrm{Var}(U_n)}{\mathrm{Var}(T_n)}.\] Se \(e > 1\), \(T_n\) è più efficiente di \(U_n\) (ha varianza minore). La consistenza è una proprietà asintotica: \(T_n\) è consistente per \(\theta\) se converge in probabilità al valore vero, ovvero \(P(|T_n - \theta| > \varepsilon) \to 0\) per ogni \(\varepsilon > 0\). L’opzione 2 inverte il rapporto (scambia numeratore e denominatore) e confonde la consistenza con la non distorsione asintotica: \(\mathrm{E}[T_n] \to \theta\) è una condizione diversa dalla convergenza in probabilità. L’opzione 3 riporta il rapporto corretto ma definisce la consistenza con \(\mathrm{Var}(T_n) \to 0\): è una condizione sufficiente solo se combinata con la non distorsione asintotica (via la disuguaglianza di Chebyshev), non è la definizione. L’opzione 4 usa il rapporto dei valori attesi (che per stimatori non distorti è sempre 1) e confonde la consistenza con la normalità asintotica (TCL).

True
False
False
False

Come si scompone l’errore quadratico medio (MSE) di uno stimatore \(T_n\) per il parametro \(\theta\), e quale relazione ha con la consistenza?

\(\mathrm{MSE}(T_n) = \sqrt{\mathrm{Var}(T_n) + [\mathrm{Bias}(T_n)]^2}\); se \(\mathrm{MSE}(T_n) \to 0\), allora \(T_n\) è non distorto.\(\mathrm{MSE}(T_n) = \mathrm{Var}(T_n) + \mathrm{Bias}(T_n)\); se \(\mathrm{MSE}(T_n) \to 0\) al crescere di \(n\), allora \(T_n\) è consistente per \(\theta\).\(\mathrm{MSE}(T_n) = \mathrm{Var}(T_n) + [\mathrm{Bias}(T_n)]^2\); \(T_n\) è consistente se e solo se \(\mathrm{Bias}(T_n) = 0\) per ogni \(n\).\(\mathrm{MSE}(T_n) = \mathrm{Var}(T_n) + [\mathrm{Bias}(T_n)]^2\); se \(\mathrm{MSE}(T_n) \to 0\) al crescere di \(n\), allora \(T_n\) è consistente per \(\theta\).

L’errore quadratico medio è definito come \(\mathrm{MSE}(T_n) = \mathrm{E}[(T_n - \theta)^2]\) e si decompone nella somma di varianza e quadrato della distorsione: \[\mathrm{MSE}(T_n) = \mathrm{Var}(T_n) + [\mathrm{Bias}(T_n)]^2, \quad \mathrm{Bias}(T_n) = \mathrm{E}[T_n] - \theta.\] Se \(\mathrm{MSE}(T_n) \to 0\), allora entrambi i termini tendono a zero, il che implica (per la disuguaglianza di Chebyshev) che \(T_n \xrightarrow{P} \theta\): la condizione \(\mathrm{MSE} \to 0\) è dunque sufficiente per la consistenza. L’opzione 2 usa la distorsione senza quadrato: è una scomposizione scorretta (le unità di misura sarebbero inconsistenti). L’opzione 3 riporta la scomposizione corretta ma afferma che la consistenza richieda distorsione nulla per ogni \(n\): è la non distorsione finita, condizione più forte e non necessaria per la consistenza. L’opzione 4 applica la radice quadrata all’MSE, ottenendo la RMSE (deviazione standard dell’errore), e confonde la convergenza dell’MSE con la non distorsione.

False
False
False
True

Il limite inferiore di Cramér-Rao fornisce un lower bound per la varianza di uno stimatore non distorto. Come si esprime tale limite per un campione i.i.d. di dimensione \(n\), e cosa significa che uno stimatore è efficiente in senso assoluto?

La varianza di qualsiasi stimatore non distorto \(T_n\) soddisfa \(\mathrm{Var}(T_n) \geq n\, \mathcal{I}(\theta)\); \(T_n\) è efficiente se raggiunge questo limite.Il limite di Cramér-Rao vale solo per stimatori di massima verosimiglianza e afferma che \(\mathrm{Var}(\hat{\theta}_{MV}) = 1/[n\,\mathcal{I}(\theta)]\) esattamente per ogni \(n\).La varianza di qualsiasi stimatore non distorto \(T_n\) soddisfa \(\mathrm{Var}(T_n) \geq \dfrac{1}{n\, \mathcal{I}(\theta)}\), dove \(\mathcal{I}(\theta) = \mathrm{E}\!\left[-\ell''(\theta)\right]\) è l’informazione attesa di Fisher; \(T_n\) è efficiente se raggiunge questo limite.Il limite di Cramér-Rao è \(\mathrm{Var}(T_n) \geq 1/\mathcal{I}(\theta)\) indipendentemente da \(n\); raddoppiare la numerosità campionaria non modifica il lower bound.

Per un campione i.i.d. di taglia \(n\), l’informazione di Fisher totale è \(n\,\mathcal{I}(\theta)\), dove \(\mathcal{I}(\theta)\) è l’informazione per una singola osservazione. Il limite di Cramér-Rao afferma che la varianza di qualsiasi stimatore non distorto è almeno: \[\mathrm{Var}(T_n) \geq \frac{1}{n\,\mathcal{I}(\theta)}.\] Uno stimatore che raggiunge esattamente questo limite è detto efficiente (in senso assoluto). Lo stimatore MV raggiunge questo limite asintoticamente (sotto condizioni di regolarità), ma non necessariamente per \(n\) finito. L’opzione 2 inverte il rapporto: un lower bound crescente in \(n\) sarebbe privo di senso, poiché più dati devono ridurre l’incertezza. L’opzione 3 attribuisce al limite di Cramér-Rao una validità solo per il MV e afferma l’uguaglianza esatta per ogni \(n\): in generale l’uguaglianza vale asintoticamente, non in piccoli campioni. L’opzione 4 omette il fattore \(n\): il lower bound deve dipendere da \(n\) (più dati \(\Rightarrow\) bound più stretto).

False
False
True
False

Per un campione i.i.d. da \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) con \(\sigma^2\) nota, si costruisce un intervallo di confidenza per \(\mu\) al livello \((1-\alpha)\) invertendo la statistica pivotale. Qual è la forma corretta dell’intervallo di confidenza?

\(\left[\bar{X}_n - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma^2}{n},\;\; \bar{X}_n + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma^2}{n}\right]\), usando la varianza \(\sigma^2\) invece della deviazione standard.\(\left[\bar{X}_n - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\; \bar{X}_n + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\), dove \(z_{\alpha/2}\) è il quantile \(\alpha/2\) della \(\mathcal{N}(0,1)\).\(\left[\bar{X}_n - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\; \bar{X}_n + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\), dove \(z_{\alpha/2}\) è il quantile \(1-\alpha/2\) della \(\mathcal{N}(0,1)\).\(\left[\bar{X}_n - z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\; \bar{X}_n + z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\), dove \(z_{\alpha}\) è il quantile \(1-\alpha\) della \(\mathcal{N}(0,1)\).

La statistica pivotale \(Z_n = (\bar{X}_n - \mu)/(\sigma/\sqrt{n}) \sim \mathcal{N}(0,1)\) non dipende da \(\mu\). Invertendo la probabilità \(P(-z_{\alpha/2} \leq Z_n \leq z_{\alpha/2}) = 1-\alpha\) rispetto a \(\mu\) si ottiene l’intervallo di confidenza casuale: \[\left[\bar{X}_n - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\bar{X}_n + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right],\] dove \(z_{\alpha/2}\) è il quantile superiore \(1-\alpha/2\) della normale standard (es. \(z_{0.025} = 1.96\) per \(\alpha = 0.05\)). L’opzione 2 usa \(z_\alpha\) (quantile \(1-\alpha\)) invece di \(z_{\alpha/2}\): produrrebbe un intervallo più stretto del livello dichiarato, perché non distribuisce la probabilità \(\alpha\) equamente sui due lati. L’opzione 3 usa \(\sigma^2/n\) (varianza della media) invece di \(\sigma/\sqrt{n}\) (deviazione standard): le unità di misura sarebbero incompatibili con \(\bar{X}_n\). L’opzione 4 usa il quantile \(\alpha/2\) (quantile inferiore, negativo) invece di \(1-\alpha/2\): è lo stesso valore in valore assoluto, ma la notazione è scorretta per il quantile destro.

False
False
True
False

Qual è la corretta interpretazione frequentista di un intervallo di confidenza al livello \(95\%\) per il parametro \(\mu\)?

Dato il campione osservato, la probabilità che \(\mu\) sia contenuto nell’intervallo calcolato è del \(95\%\).Se si ripetesse il campionamento molte volte e si costruisse l’intervallo ogni volta, circa il \(95\%\) degli intervalli ottenuti conterrebbe il vero valore di \(\mu\).L’intervallo di confidenza al \(95\%\) è quello che si restringerebbe al \(5\%\) della sua ampiezza se la numerosità campionaria fosse infinita.Il \(95\%\) delle osservazioni del campione rientra nell’intervallo di confidenza calcolato.

Nell’approccio frequentista, \(\mu\) è un parametro fisso (non una variabile casuale): non ha senso assegnargli una probabilità. L’intervallo di confidenza è invece un intervallo casuale, costruito dalla statistica pivotale, che prima di osservare i dati ha probabilità \(1-\alpha\) di contenere \(\mu\). Una volta osservato il campione, l’intervallo specifico \((a, b)\) contiene \(\mu\) oppure no: non c’è probabilità a posteriori. L’interpretazione corretta è operativa e legata al campionamento ripetuto: immaginando di replicare lo studio molte volte, circa il \(95\%\) degli intervalli così costruiti conterrebbero \(\mu\). L’opzione 2 attribuisce una probabilità al parametro dato l’intervallo osservato: è l’interpretazione bayesiana dell’intervallo di credibilità, non dell’IC frequentista. L’opzione 3 confonde l’IC con un intervallo di tolleranza o con il range dei dati. L’opzione 4 descrive un effetto della numerosità sull’ampiezza, non l’interpretazione dell’IC.

False
True
False
False

Per l’intervallo di confidenza per \(\mu\) con varianza \(\sigma^2\) nota, l’ampiezza è \(2\,z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}\). Quale delle seguenti affermazioni sul trade-off tra ampiezza e livello di confidenza è corretta?

A parità di \(n\) e \(\sigma^2\), aumentare il livello di confidenza da \(95\%\) a \(99\%\) allarga l’intervallo, perché il quantile \(z_{\alpha/2}\) cresce; per ottenere un intervallo più stretto senza ridurre la copertura occorre aumentare \(n\).Raddoppiare la numerosità campionaria \(n\) dimezza l’ampiezza dell’intervallo di confidenza.A parità di \(n\) e \(\sigma^2\), aumentare il livello di confidenza da \(95\%\) a \(99\%\) restringe l’intervallo, perché un livello più alto indica maggiore precisione.A parità di \(n\) e \(\sigma^2\), l’ampiezza dell’intervallo non dipende dal livello di confidenza: dipende solo da \(\sigma\) e \(n\).

L’ampiezza \(2\,z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}\) è proporzionale al quantile \(z_{\alpha/2}\). Passando da un livello del \(95\%\) (con \(z_{0.025} \approx 1.96\)) al \(99\%\) (con \(z_{0.005} \approx 2.576\)), il quantile cresce e l’intervallo si allarga: si paga una maggiore ampiezza in cambio di una copertura più alta. Il modo per restringere l’intervallo senza abbassare la copertura è aumentare \(n\), che riduce \(\sigma/\sqrt{n}\). L’opzione 2 inverte il trade-off: un livello di confidenza più alto corrisponde a un quantile più grande e a un intervallo più ampio, non più stretto. L’opzione 3 nega la dipendenza dell’ampiezza dal livello: il quantile \(z_{\alpha/2}\) varia esplicitamente con \(\alpha\). L’opzione 4 è quasi corretta nel concetto, ma imprecisa nella quantità: raddoppiare \(n\) riduce l’ampiezza di un fattore \(\sqrt{2} \approx 1.41\), non di 2; per dimezzare l’ampiezza occorre quadruplicare \(n\).

True
False
False
False

Per un campione i.i.d. da \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) con \(\sigma^2\) incognita, qual è l’intervallo di confidenza esatto al livello \((1-\alpha)\) per \(\mu\)?

\(\left[\bar{X}_n - t_{n-1,\,\alpha/2}\dfrac{S_n^2}{n},\;\; \bar{X}_n + t_{n-1,\,\alpha/2}\dfrac{S_n^2}{n}\right]\), usando la varianza campionaria \(S_n^2\) invece della deviazione standard.\(\left[\bar{X}_n - t_{n-1,\,\alpha/2}\dfrac{S_n}{\sqrt{n}},\;\; \bar{X}_n + t_{n-1,\,\alpha/2}\dfrac{S_n}{\sqrt{n}}\right]\), dove \(t_{n-1,\,\alpha/2}\) è il quantile \(1-\alpha/2\) della \(t(n-1)\).\(\left[\bar{X}_n - t_{n,\,\alpha/2}\dfrac{S_n}{\sqrt{n}},\;\; \bar{X}_n + t_{n,\,\alpha/2}\dfrac{S_n}{\sqrt{n}}\right]\), dove \(t_{n,\,\alpha/2}\) è il quantile \(1-\alpha/2\) della \(t(n)\).\(\left[\bar{X}_n - z_{\alpha/2}\dfrac{S_n}{\sqrt{n}},\;\; \bar{X}_n + z_{\alpha/2}\dfrac{S_n}{\sqrt{n}}\right]\), dove \(z_{\alpha/2}\) è il quantile \(1-\alpha/2\) della \(\mathcal{N}(0,1)\).

Con \(\sigma^2\) incognita, la statistica pivotale è \(T_n = (\bar{X}_n - \mu)/(S_n/\sqrt{n}) \sim t(n-1)\). Invertendo \(P(-t_{n-1,\alpha/2} \leq T_n \leq t_{n-1,\alpha/2}) = 1-\alpha\) rispetto a \(\mu\) si ottiene l’IC esatto con i quantili della \(t\) con \(n-1\) gradi di libertà. L’opzione 2 usa il quantile della normale standard: è l’IC asintotico (valido per \(n\) grande), non quello esatto; per campioni piccoli produce una copertura inferiore al livello nominale perché \(t_{n-1,\alpha/2} > z_{\alpha/2}\). L’opzione 3 usa \(t(n)\) invece di \(t(n-1)\): i gradi di libertà corretti sono \(n-1\) perché si perde un grado di libertà stimando \(\mu\) con \(\bar{X}_n\). L’opzione 4 usa \(S_n^2/n\) (varianza della media) invece di \(S_n/\sqrt{n}\) (deviazione standard della media): le unità di misura sarebbero incompatibili con \(\bar{X}_n\).

False
True
False
False

Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente l’intervallo di confidenza asintotico per la media \(\mu\) di un DGP con media \(\mu\) e varianza \(\sigma^2 < \infty\) qualsiasi (non necessariamente normale)?

Per \(n\) grande, \(\left[\bar{X}_n \pm z_{\alpha/2}\,S_n/\sqrt{n}\right]\) ha copertura approssimativa \(1-\alpha\) per qualsiasi distribuzione del DGP con varianza finita, grazie al teorema del limite centrale.Per \(n\) grande, \(\left[\bar{X}_n \pm z_{\alpha/2}\,S_n/\sqrt{n}\right]\) ha copertura esattamente pari a \(1-\alpha\) per qualsiasi \(n\), non solo asintoticamente.L’IC asintotico per la media si basa sulla statistica \((\bar{X}_n - \mu)/(\sigma/\sqrt{n})\) con \(\sigma\) noto; senza conoscere \(\sigma\) l’approssimazione non è applicabile.L’IC asintotico è valido solo se il DGP è normale; per distribuzioni non normali occorre sempre usare la distribuzione \(t(n-1)\).

Per il teorema del limite centrale, la statistica \((\bar{X}_n - \mu)/(S_n/\sqrt{n})\) converge in distribuzione a \(\mathcal{N}(0,1)\) per \(n \to \infty\), indipendentemente dalla forma della distribuzione del DGP (purché la varianza sia finita). L’IC asintotico \([\bar{X}_n \pm z_{\alpha/2}\,S_n/\sqrt{n}]\) ha quindi copertura approssimativamente pari a \(1-\alpha\) per \(n\) grande, anche quando il DGP non è normale e \(\sigma^2\) è ignota. L’opzione 2 nega l’applicabilità dell’IC asintotico ai DGP non normali: è l’errore opposto, perché il TCL vale per qualsiasi distribuzione con varianza finita. L’opzione 3 afferma la copertura esatta per ogni \(n\): è errata, la copertura è solo approssimata e migliora con \(n\). L’opzione 4 richiede \(\sigma\) noto per l’approssimazione: non è necessario, poiché \(S_n\) è uno stimatore consistente di \(\sigma\) e la sostituzione non altera la convergenza asintotica.

True
False
False
False

Per un campione i.i.d. da \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) con \(\mu\) incognita, qual è l’intervallo di confidenza esatto al livello \((1-\alpha)\) per \(\sigma^2\)?

\(\left[\dfrac{n\,S_n^2}{\chi^2_{n,\,\alpha/2}},\;\; \dfrac{n\,S_n^2}{\chi^2_{n,\,1-\alpha/2}}\right]\), usando \(n\) gradi di libertà poiché ci sono \(n\) osservazioni.\(\left[\dfrac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}},\;\; \dfrac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\,\alpha/2}}\right]\), dove \(\chi^2_{n-1,\,p}\) è il quantile \(p\) della \(\chi^2(n-1)\).\(\left[S_n^2 - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{2\sigma^4}{n-1}},\;\; S_n^2 + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{2\sigma^4}{n-1}}\right]\), con l’approssimazione normale per \(S_n^2\).\(\left[\dfrac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\,\alpha/2}},\;\; \dfrac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}}\right]\), dove \(\chi^2_{n-1,\,p}\) è il quantile \(p\) della \(\chi^2(n-1)\).

Con \(\mu\) incognita si usa la statistica pivotale \((n-1)S_n^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)\). Poiché la \(\chi^2\) è asimmetrica, i due quantili non sono equidistanti dal centro e si sceglie la coppia \((\chi^2_{n-1,\,\alpha/2},\, \chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2})\) con \(\chi^2_{n-1,\,\alpha/2} < \chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}\). Invertendo rispetto a \(\sigma^2\): \[P\!\left(\chi^2_{n-1,\,\alpha/2} \leq \frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}\right) = 1-\alpha\] \[\Rightarrow \sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}},\; \frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\,\alpha/2}}\right].\] L’opzione 1 ha i quantili invertiti (numeratore più grande al limite inferiore): poiché \(\chi^2_{n-1,\,\alpha/2} < \chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}\), dividendo \((n-1)S_n^2\) per il quantile più piccolo si ottiene il limite superiore, non quello inferiore. L’opzione 3 usa \(n\) gradi di libertà e \(n\,S_n^2\): è la formula corretta quando \(\mu\) è nota (si usa \(\sum(X_i-\mu)^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n)\)). L’opzione 4 applica un’approssimazione normale simmetrica: è asintoticamente valida ma richiede la conoscenza di \(\sigma^4\), che è il parametro ignoto.

False
True
False
False

Per un campione i.i.d. da \(\text{Bernoulli}(\pi)\) con \(n\) grande, qual è l’intervallo di confidenza approssimato al livello \((1-\alpha)\) per \(\pi\)?

\(\left[\hat{\pi} - z_{\alpha/2}\dfrac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n},\;\; \hat{\pi} + z_{\alpha/2}\dfrac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}\right]\), usando la varianza \(\hat{\pi}(1-\hat{\pi})/n\) invece della deviazione standard.\(\left[\hat{\pi} - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\pi(1-\pi)}{n}},\;\; \hat{\pi} + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\pi(1-\pi)}{n}}\right]\), usando il valore vero (ignoto) di \(\pi\).\(\left[\hat{\pi} - t_{n-1,\,\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}},\;\; \hat{\pi} + t_{n-1,\,\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}}\right]\), usando la \(t(n-1)\) perché \(\pi\) è incognito.\(\left[\hat{\pi} - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}},\;\; \hat{\pi} + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}}\right]\), dove \(\hat{\pi} = \bar{X}_n\) è la proporzione campionaria.

Per \(n\) grande, il teorema del limite centrale garantisce \(\hat{\pi} \stackrel{a}{\sim} \mathcal{N}(\pi, \pi(1-\pi)/n)\). Sostituendo \(\pi\) con la stima \(\hat{\pi}\) nella varianza (poiché \(\pi\) è ignoto), la statistica pivotale approssimata \((\hat{\pi} - \pi)/\sqrt{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})/n}\) è approssimativamente \(\mathcal{N}(0,1)\), e l’IC risultante è: \[\left[\hat{\pi} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}}\right].\] L’opzione 2 usa la varianza \(\hat{\pi}(1-\hat{\pi})/n\) invece della deviazione standard \(\sqrt{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})/n}\): le unità di misura sarebbero incompatibili con \(\hat{\pi}\). L’opzione 3 usa il valore vero \(\pi\) nella deviazione standard: è ignoto per definizione, il suo uso renderebbe l’intervallo non calcolabile dai soli dati. L’opzione 4 usa i quantili della \(t(n-1)\): per la proporzione l’approssimazione è basata sul TCL (distribuzione normale), non sulla distribuzione \(t\), che è la distribuzione esatta solo per la media di un DGP normale.

False
False
False
True

Siano disponibili due campioni indipendenti di dimensione \(n_1\) e \(n_2\) da \(\mathcal{N}(\mu_1, \sigma^2)\) e \(\mathcal{N}(\mu_2, \sigma^2)\), con \(\sigma^2\) incognita ma uguale nelle due popolazioni. Qual è l’intervallo di confidenza esatto al livello \((1-\alpha)\) per \(\mu_1 - \mu_2\)?

\(\left[(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{n_1+n_2,\,\alpha/2}\; S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}\right]\), con \(n_1+n_2\) gradi di libertà.\(\left[(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{n_1+n_2-2,\,\alpha/2}\sqrt{\dfrac{S_1^2}{n_1}+\dfrac{S_2^2}{n_2}}\right]\), usando le varianze campionarie separate.\(\left[(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{n_1+n_2-2,\,\alpha/2}\; S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}\right]\), con \(S_p^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\).\(\left[(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm z_{\alpha/2}\; S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}\right]\), con \(S_p^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\).

Con varianze incognite e uguali, la varianza comune viene stimata con la varianza pooled \(S_p^2\), che combina le informazioni di entrambi i campioni pesando per i rispettivi gradi di libertà. La statistica pivot \((\bar{X}_1-\bar{X}_2 - (\mu_1-\mu_2))/(S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}) \sim t(n_1+n_2-2)\) produce l’IC esatto con quantili della \(t\), con \(n_1+n_2-2\) gradi di libertà (uno perso per ciascuna media stimata). L’opzione 2 usa i quantili della normale standard invece della \(t\): è l’IC asintotico, non quello esatto. L’opzione 3 usa le varianze campionarie separate invece della pooled: è la statistica di Welch, appropriata quando le varianze sono diverse tra i gruppi, ma non sfrutta l’ipotesi di uguaglianza. L’opzione 4 riporta \(n_1+n_2\) gradi di libertà invece di \(n_1+n_2-2\): si perdono 2 gradi di libertà perché si stimano \(\mu_1\) e \(\mu_2\).

False
False
True
False

Siano \(S_1^2\) e \(S_2^2\) le varianze campionarie corrette di due campioni indipendenti da \(\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)\) e \(\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)\) con medie incognite e \(n_1\), \(n_2\) osservazioni. Qual è l’intervallo di confidenza al livello \((1-\alpha)\) per il rapporto \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\)?

\(\left[\dfrac{S_1^2}{S_2^2} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{2}{n_1-1}+\dfrac{2}{n_2-1}}\right]\), con l’approssimazione normale per il rapporto.\(\left[\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\cdot\dfrac{1}{F_{n_1,\,n_2,\,1-\alpha/2}},\;\;\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\cdot\dfrac{1}{F_{n_1,\,n_2,\,\alpha/2}}\right]\), usando \(n_1\) e \(n_2\) gradi di libertà.\(\left[\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\cdot\dfrac{1}{F_{n_1-1,\,n_2-1,\,1-\alpha/2}},\;\;\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\cdot\dfrac{1}{F_{n_1-1,\,n_2-1,\,\alpha/2}}\right]\), dove \(F_{m,n,p}\) è il quantile \(p\) della \(F(m,n)\).\(\left[\dfrac{S_1^2}{S_2^2} - F_{n_1-1,\,n_2-1,\,\alpha/2},\;\;\dfrac{S_1^2}{S_2^2} + F_{n_1-1,\,n_2-1,\,1-\alpha/2}\right]\), sommando e sottraendo i quantili della \(F\).

La statistica pivot è \((S_1^2/\sigma_1^2)/(S_2^2/\sigma_2^2) \sim F(n_1-1,n_2-1)\). Invertendo la disuguaglianza \(F_{n_1-1,n_2-1,\alpha/2} \leq (S_1^2/\sigma_1^2)/(S_2^2/\sigma_2^2) \leq F_{n_1-1,n_2-1,1-\alpha/2}\) rispetto a \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) si ottiene: \[\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{n_1-1,n_2-1,1-\alpha/2}} \leq \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leq \frac{S_1^2/S_2^2}{F_{n_1-1,n_2-1,\alpha/2}}.\] Si noti che poiché \(F_{n_1-1,n_2-1,\alpha/2} < F_{n_1-1,n_2-1,1-\alpha/2}\), il limite inferiore (diviso per il quantile più grande) è minore del limite superiore. L’opzione 2 somma e sottrae i quantili della \(F\) come se fosse un IC per una quantità normale: la struttura moltiplicativa del pivot richiede la divisione, non la differenza. L’opzione 3 usa \(n_1\) e \(n_2\) gradi di libertà invece di \(n_1-1\) e \(n_2-1\): sarebbero corretti se le medie \(\mu_1, \mu_2\) fossero note. L’opzione 4 applica un’approssimazione normale simmetrica: non è la forma standard per il rapporto di varianze, che segue una \(F\) asimmetrica.

False
False
True
False

Siano \(\hat{\pi}_1\) e \(\hat{\pi}_2\) le proporzioni campionarie di due campioni indipendenti da \(\text{Bernoulli}(\pi_1)\) e \(\text{Bernoulli}(\pi_2)\). Per \(n_1\) e \(n_2\) grandi, qual è l’intervallo di confidenza approssimato al livello \((1-\alpha)\) per \(\pi_1 - \pi_2\)?

\(\left[(\hat{\pi}_1-\hat{\pi}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{\pi}_1(1-\hat{\pi}_1)}{n_1}+\dfrac{\hat{\pi}_2(1-\hat{\pi}_2)}{n_2}}\right]\), stimando le varianze dei due gruppi separatamente.\(\left[(\hat{\pi}_1-\hat{\pi}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{\pi}_1(1-\hat{\pi}_2)}{n_1}+\dfrac{\hat{\pi}_2(1-\hat{\pi}_1)}{n_2}}\right]\), incrociando le proporzioni nei due termini.\(\left[(\hat{\pi}_1-\hat{\pi}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)}\right]\), con \(\hat{\pi} = \dfrac{n_1\hat{\pi}_1 + n_2\hat{\pi}_2}{n_1+n_2}\) la proporzione pooled.\(\left[(\hat{\pi}_1-\hat{\pi}_2) \pm t_{n_1+n_2-2,\,\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{\pi}_1(1-\hat{\pi}_1)}{n_1}+\dfrac{\hat{\pi}_2(1-\hat{\pi}_2)}{n_2}}\right]\), usando la \(t(n_1+n_2-2)\).

Per la costruzione dell’IC per \(\pi_1 - \pi_2\) non si assume \(\pi_1 = \pi_2\): le varianze delle due proporzioni campionarie vengono stimate separatamente con \(\hat{\pi}_j(1-\hat{\pi}_j)/n_j\). La statistica \((\hat{\pi}_1-\hat{\pi}_2-(\pi_1-\pi_2))/\sqrt{\hat{\pi}_1(1-\hat{\pi}_1)/n_1 + \hat{\pi}_2(1-\hat{\pi}_2)/n_2}\) converge a \(\mathcal{N}(0,1)\) per il TCL, e l’IC risultante usa i quantili normali. L’opzione 2 usa la proporzione pooled \(\hat\pi\): è la scelta corretta per il test di \(H_0: \pi_1=\pi_2\) (dove si assume implicitamente \(\pi_1 = \pi_2\) per stimare la varianza comune), non per costruire l’IC (dove \(\pi_1\) e \(\pi_2\) possono differire). L’opzione 3 usa la distribuzione \(t\): l’approssimazione corretta è la normale (via TCL), non la \(t\). L’opzione 4 incrocia le proporzioni nella formula della varianza: è un errore senza giustificazione statistica.

True
False
False
False

In analogia con il caso delle varianze uguali per le medie, si può costruire un intervallo di confidenza per \(\pi_1 - \pi_2\) stimando la varianza comune con la proporzione pooled \(\hat{\pi} = (n_1\hat{\pi}_1 + n_2\hat{\pi}_2)/(n_1+n_2)\). Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente questa scelta e le sue implicazioni?

L’IC con varianza pooled è sempre preferibile all’IC con varianze separate perché produce intervalli più stretti, indipendentemente dal valore di \(\pi_1\) e \(\pi_2\).L’IC con varianza pooled \(\left[(\hat{\pi}_1-\hat{\pi}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})(1/n_1+1/n_2)}\right]\) implica implicitamente \(\pi_1 \approx \pi_2\), il che è in contrasto con l’obiettivo della stima: stimare \(\pi_1 - \pi_2\) ha senso proprio perché non si sa se le due proporzioni coincidono.L’IC con varianza pooled non introduce alcuna assunzione aggiuntiva rispetto all’IC con varianze separate: la proporzione pooled \(\hat{\pi}\) è semplicemente una stima più precisa della varianza.L’IC con varianza pooled e quello con varianze separate sono numericamente identici quando \(n_1 = n_2\), quindi la scelta tra i due è irrilevante in campioni bilanciati.

Usando la proporzione pooled \(\hat{\pi}\) per stimare la varianza si agisce come se \(\pi_1 \approx \pi_2\), ovvero come se esiste un unico parametro comune che governa entrambe le proporzioni. Questo è concettualmente in tensione con il problema della stima di \(\pi_1 - \pi_2\): si vuole stimare la differenza tra due proporzioni proprio perché non si sa se sono uguali, e assumere implicitamente la loro uguaglianza per costruire l’IC contraddice questa incertezza di partenza. L’IC con varianze separate è pertanto più coerente con l’obiettivo della stima, perché non impone alcuna assunzione sul rapporto tra \(\pi_1\) e \(\pi_2\). L’opzione 2 afferma che la varianza pooled produce sempre intervalli più stretti: è vero quando \(\pi_1 \approx \pi_2\) (perché si sfrutta l’informazione congiunta), ma non in generale, e un IC più stretto basato su un’assunzione non verificata non è preferibile. L’opzione 3 afferma che i due IC coincidono per \(n_1 = n_2\): è falsa, la differenza dipende dai valori osservati di \(\hat{\pi}_1\) e \(\hat{\pi}_2\), non solo dal rapporto tra le numerosità. L’opzione 4 nega che la varianza pooled introduca assunzioni aggiuntive: al contrario, la pooled è giustificata solo sotto l’assunzione \(\pi_1 \approx \pi_2\), mentre le varianze separate non richiedono alcuna ipotesi sul legame tra i due parametri.

False
True
False
False