Esercizi autovalutazione settimana #06

Statistiche per problemi a due popolazioni, metodi di simulazione, sufficienza

Come si definisce una variabile casuale con distribuzione F di Fisher con \(m\) e \(n\) gradi di libertà, indicata con \(F(m, n)\)?

\(W = \dfrac{U/m}{V/n}\), dove \(U \sim \chi^2(m)\) e \(V \sim \chi^2(n)\) sono dipendenti.\(W = \dfrac{U}{V}\), dove \(U \sim \chi^2(m)\) e \(V \sim \chi^2(n)\) sono indipendenti.\(W = \dfrac{U/m}{V/n}\), dove \(U \sim \chi^2(m)\) e \(V \sim \chi^2(n)\) sono indipendenti.\(W = \sqrt{\dfrac{U/m}{V/n}}\), dove \(U \sim \chi^2(m)\) e \(V \sim \chi^2(n)\) sono indipendenti.

La variabile \(F(m,n)\) è definita come il rapporto tra due variabili chi-quadrato indipendenti, ciascuna divisa per i propri gradi di libertà: \[W = \frac{U/m}{V/n}, \quad U \sim \chi^2(m),\; V \sim \chi^2(n),\; U \perp V.\] Ha supporto \((0, +\infty)\) ed è usata principalmente per il confronto tra varianze. Da notare la relazione con la \(t\) di Student: se \(T \sim t(k)\), allora \(T^2 \sim F(1, k)\). L’opzione 2 mantiene la formula corretta ma rimuove l’indipendenza, che è una condizione necessaria della definizione. L’opzione 3 omette la divisione per i gradi di libertà: il rapporto \(U/V\) non ha distribuzione \(F\) perché non normalizza le due chi-quadrato. L’opzione 4 applica la radice quadrata al rapporto: quella trasformazione è legata alla distribuzione \(t\), non alla \(F\).

False
False
True
False

Siano \(X_{1,1},\ldots,X_{1,n_1}\) i.i.d. da \(\mathcal{N}(\mu_1,\sigma^2)\) e \(X_{2,1},\ldots,X_{2,n_2}\) i.i.d. da \(\mathcal{N}(\mu_2,\sigma^2)\), con i due campioni indipendenti e \(\sigma^2\) incognita ma uguale nelle due popolazioni. Qual è la statistica pivot per il confronto tra \(\mu_1\) e \(\mu_2\) e la sua distribuzione esatta?

\(Z_n = \dfrac{(\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} \sim \mathcal{N}(0,1)\), anche quando \(\sigma^2\) è incognita.\(T_n = \dfrac{(\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} \sim t(n_1 + n_2)\), con \(n_1 + n_2\) gradi di libertà.\(T_n = \dfrac{(\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{S_1^2/n_1 + S_2^2/n_2}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)\), usando le varianze campionarie separate.\(T_n = \dfrac{(\bar{X}_{1} - \bar{X}_{2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)\), dove \(S_p^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\).

Quando le varianze delle due popolazioni sono uguali ma incognite, si stima la varianza comune con la varianza pooled: \[S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},\] che combina le informazioni di entrambi i campioni. La statistica pivot risultante segue una \(t\) con \(n_1+n_2-2\) gradi di libertà, perché si perdono 2 gradi di libertà stimando le due medie \(\mu_1\) e \(\mu_2\). L’opzione 2 usa le varianze campionarie separate invece della pooled: è la statistica di Welch, valida quando le varianze sono diverse tra le popolazioni, e la cui distribuzione non è esattamente \(t(n_1+n_2-2)\). L’opzione 3 usa \(\sigma\) noto, ma per ipotesi \(\sigma^2\) è incognita. L’opzione 4 riporta la statistica corretta ma con \(n_1+n_2\) gradi di libertà: mancano i 2 sottratti per la stima delle medie.

False
False
False
True

Siano \(S_1^2\) e \(S_2^2\) le varianze campionarie corrette di due campioni i.i.d. indipendenti da \(\mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\) e \(\mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\) rispettivamente, con \(n_1\) e \(n_2\) osservazioni e medie incognite. Qual è la distribuzione esatta della statistica per il confronto tra \(\sigma_1^2\) e \(\sigma_2^2\)?

\(F_n = \dfrac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim \chi^2(n_1 + n_2 - 2)\)\(F_n = \dfrac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1 - 1,\, n_2 - 1)\) anche quando \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\).\(F_n = \dfrac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1,\, n_2 - 1)\)\(F_n = \dfrac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1,\, n_2)\)

Poiché le medie sono incognite, le varianze campionarie corrette soddisfano \((n_i-1)S_i^2/\sigma_i^2 \sim \chi^2(n_i-1)\), con \(n_i - 1\) gradi di libertà. Il rapporto delle due quantità, divise per i rispettivi gradi di libertà, è: \[F_n = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} = \frac{(n_1-1)S_1^2/\sigma_1^2\;/\;(n_1-1)}{(n_2-1)S_2^2/\sigma_2^2\;/\;(n_2-1)} \sim F(n_1-1,\, n_2-1).\] L’opzione 2 usa \(n_1\) e \(n_2\) gradi di libertà: sarebbero corretti se le medie fossero note, nel qual caso si userebbero le varianze non corrette con divisore \(n_i\). L’opzione 3 omette la correzione per \(\sigma_1^2\) e \(\sigma_2^2\): il rapporto \(S_1^2/S_2^2\) è distribuito \(F(n_1-1,n_2-1)\) solo sotto \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\); in generale va normalizzato. L’opzione 4 attribuisce una distribuzione chi-quadrato al rapporto di due chi-quadrato: il rapporto di due chi-quadrato (normalizzate) è una \(F\), non una chi-quadrato.

False
False
True
False

Siano \(F_{n_1}\) e \(F_{n_2}\) le frequenze relative di successo in due campioni i.i.d. indipendenti di dimensione \(n_1\) e \(n_2\) da due DGP bernoulliani con parametri \(\pi_1\) e \(\pi_2\). Sotto l’ipotesi \(\pi_1 = \pi_2 = \pi\), quale statistica si usa per il confronto tra le due proporzioni e qual è la sua distribuzione approssimata per \(n_1, n_2\) grandi?

\(Z_n = \dfrac{F_{n_1} - F_{n_2}}{\sqrt{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}} \stackrel{a}{\sim} \mathcal{N}(0,1)\), dove \(\hat{\pi} = \dfrac{n_1 F_{n_1} + n_2 F_{n_2}}{n_1 + n_2}\).\(Z_n = \dfrac{F_{n_1} - F_{n_2}}{\sqrt{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}} \stackrel{a}{\sim} t(n_1+n_2-2)\).\(Z_n = (F_{n_1} - F_{n_2})^2 \cdot \dfrac{n_1 n_2}{n_1+n_2} \stackrel{a}{\sim} \chi^2(1)\).\(Z_n = \dfrac{F_{n_1} - F_{n_2}}{\sqrt{\frac{F_{n_1}(1-F_{n_1})}{n_1}+\frac{F_{n_2}(1-F_{n_2})}{n_2}}} \stackrel{a}{\sim} \mathcal{N}(0,1)\), usando le varianze campionarie separate.

Sotto \(H_0: \pi_1 = \pi_2 = \pi\), il parametro comune \(\pi\) viene stimato con la proporzione pooled \(\hat{\pi} = (n_1 F_{n_1} + n_2 F_{n_2})/(n_1+n_2)\). La statistica standardizzata, per il teorema del limite centrale applicato a entrambi i campioni, converge in distribuzione a \(\mathcal{N}(0,1)\). L’opzione 2 usa le varianze campionarie separate di ciascun gruppo invece della varianza pooled: è appropriata quando non si assume \(\pi_1 = \pi_2\) (stima separata), ma sotto \(H_0\) è meno efficiente del pooled. L’opzione 3 assegna una distribuzione \(t\) alla statistica: l’approssimazione normale è corretta per \(n_1, n_2\) grandi (via TCL), senza necessità di ricorrere alla \(t\). L’opzione 4 è la forma quadratica della statistica \(Z_n^2\): per il legame \(Z^2 \sim \chi^2(1)\) è asintoticamente equivalente, ma non è la forma standard della statistica per il confronto tra proporzioni.

True
False
False
False

Qual è il principio su cui si basa il metodo Monte Carlo per la determinazione della distribuzione campionaria di una statistica \(T_n\)?

Si generano un gran numero di campioni simulati direttamente dal DGP (con parametro noto o ipotizzato) e si calcola la statistica su ciascun campione; la distribuzione empirica dei valori ottenuti approssima la distribuzione campionaria di \(T_n\).Si approssima la distribuzione campionaria di \(T_n\) con una distribuzione normale, usando media e varianza teoriche ricavate dal TCL.Si generano campioni ripetuti ricampionando con reimmissione dal campione osservato, e si calcola la statistica su ciascun campione ricampionato; la distribuzione empirica approssima la distribuzione campionaria di \(T_n\).Si calcola la funzione di verosimiglianza per un gran numero di valori del parametro e si usa il profilo di verosimiglianza come approssimazione della distribuzione campionaria.

Il metodo Monte Carlo sfrutta la conoscenza (o l’ipotesi) del DGP: si simulano \(B\) campioni indipendenti di taglia \(n\) direttamente dalla distribuzione assunta, si calcola \(T_n\) su ciascuno, e la distribuzione empirica dei \(B\) valori \(\{t_n^{(1)},\ldots,t_n^{(B)}\}\) converge alla vera distribuzione campionaria di \(T_n\) al crescere di \(B\). Il metodo richiede che il DGP (o almeno il parametro) sia specificato. L’opzione 2 descrive il bootstrap: a differenza del Monte Carlo, il bootstrap non richiede la conoscenza del DGP e ricampiona dal campione osservato. L’opzione 3 descrive l’approssimazione analitica tramite TCL: è un metodo teorico, non basato su simulazione. L’opzione 4 descrive un approccio basato sulla verosimiglianza, che non ha legame diretto con la simulazione della distribuzione campionaria.

True
False
False
False

Qual è la caratteristica distintiva del metodo bootstrap rispetto al metodo Monte Carlo per l’approssimazione della distribuzione campionaria di una statistica?

Il bootstrap approssima la distribuzione campionaria di \(T_n\) usando uno sviluppo di Taylor della statistica attorno alla stima puntuale.Il bootstrap richiede la specifica del DGP e genera campioni simulati dalla distribuzione assunta, esattamente come il Monte Carlo.Il bootstrap ricampiona con reimmissione dal campione osservato, senza assumere un DGP noto: la distribuzione empirica del campione osservato funge da proxy della distribuzione della popolazione.Il bootstrap ricampiona senza reimmissione dal campione osservato, garantendo che ogni campione bootstrap sia diverso dall’originale.

Il punto centrale del bootstrap è che non richiede la conoscenza del DGP: al suo posto usa la distribuzione empirica del campione osservato. Si generano \(B\) campioni bootstrap di taglia \(n\) ricampionando con reimmissione dal campione osservato \((x_1,\ldots,x_n)\); la distribuzione empirica della statistica sui campioni bootstrap approssima la distribuzione campionaria di \(T_n\). La reimmissione è essenziale: senza di essa ogni campione bootstrap sarebbe una permutazione dell’originale, con variabilità artificialmente ridotta. L’opzione 2 descrive un ricampionamento senza reimmissione: produrrebbe sempre permutazioni del campione originale, perdendo la variabilità che il bootstrap vuole catturare. L’opzione 3 descrive il Monte Carlo, non il bootstrap. L’opzione 4 descrive un metodo analitico di approssimazione (delta method), non il bootstrap.

False
False
True
False

Quali sono i due problemi fondamentali dell’inferenza statistica e in cosa differiscono?

La stima consiste nel raccogliere i dati in modo ottimale; la verifica delle ipotesi consiste nell’analizzarli una volta raccolti.La stima mira a determinare il valore (o un intervallo di valori plausibili) di un parametro ignoto; la verifica delle ipotesi mira a decidere se i dati sono compatibili con un’affermazione specifica sul parametro.La stima riguarda esclusivamente i parametri di posizione (media, mediana); la verifica delle ipotesi riguarda esclusivamente i parametri di scala (varianza, deviazione standard).La stima è un metodo frequentista; la verifica delle ipotesi è un metodo bayesiano.

I due problemi fondamentali dell’inferenza sono distinti per obiettivo: la stima (puntuale o per intervallo) mira a produrre un valore numerico o un insieme di valori plausibili per un parametro ignoto \(\theta\), sfruttando l’informazione contenuta nel campione. La verifica delle ipotesi (o test) mira invece a prendere una decisione binaria: i dati sono compatibili con un’ipotesi \(H_0\) sul parametro, oppure vi è evidenza sufficiente per rifiutarla in favore dell’alternativa \(H_1\)? Entrambi i problemi usano le stesse statistiche campionarie e la stessa teoria delle distribuzioni campionarie, ma hanno obiettivi e formalismi diversi. L’opzione 2 confonde la distinzione stima/ipotesi con quella disegno/analisi. L’opzione 3 riduce artificialmente il campo di applicazione di ciascun problema. L’opzione 4 è errata: entrambi i problemi esistono sia nell’approccio frequentista sia in quello bayesiano.

False
True
False
False

Quale delle seguenti affermazioni definisce correttamente una statistica sufficiente per il parametro \(\theta\)?

\(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se \(\mathrm{E}[T_n] = \theta\), ovvero se è uno stimatore non distorto.\(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se la sua distribuzione campionaria non dipende dal valore di \(\theta\).\(T_n = T(X_1,\ldots,X_n)\) è sufficiente per \(\theta\) se la distribuzione condizionale del campione \((X_1,\ldots,X_n)\) dato \(T_n = t\) non dipende da \(\theta\).\(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se è lo stimatore di massima verosimiglianza di \(\theta\).

Una statistica \(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se, condizionatamente al valore di \(T_n\), la distribuzione del campione non porta ulteriori informazioni su \(\theta\): tutto ciò che il campione sa sul parametro è catturato da \(T_n\). Formalmente: \(P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n \mid T_n = t;\, \theta)\) non dipende da \(\theta\). Questo implica che, conoscendo \(T_n\), non si perde nulla di rilevante scartando i dati grezzi. L’opzione 2 confonde la sufficienza con la proprietà MV: lo stimatore MV è spesso funzione di una statistica sufficiente (per il teorema di Rao-Blackwell), ma non coincide con essa per definizione. L’opzione 3 confonde la sufficienza con la non distorsione: sono proprietà distinte e indipendenti. L’opzione 4 descrive una proprietà opposta: una statistica sufficiente porta tutta l’informazione su \(\theta\), non la elimina dalla propria distribuzione.

False
False
True
False

Il criterio di fattorizzazione di Neyman fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la sufficienza. Qual è la sua formulazione corretta?

\(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se e solo se \(L(\theta;\mathbf{x}) = g(T_n(\mathbf{x}),\,\theta) \cdot h(\mathbf{x},\,\theta)\), dove entrambi i fattori possono dipendere da \(\theta\).\(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se e solo se la log-verosimiglianza \(\ell(\theta;\mathbf{x})\) è una funzione lineare di \(T_n(\mathbf{x})\).\(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se e solo se la funzione di verosimiglianza può essere scritta come \(L(\theta;\mathbf{x}) = g(T_n(\mathbf{x}),\,\theta) \cdot h(\mathbf{x})\), dove \(g\) dipende dai dati solo tramite \(T_n\) e \(h\) non dipende da \(\theta\).\(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se e solo se \(L(\theta;\mathbf{x}) = g(T_n(\mathbf{x})) \cdot h(\theta)\), dove i due fattori dipendono separatamente dai dati e dal parametro.

Il criterio di fattorizzazione di Neyman afferma che \(T_n\) è sufficiente per \(\theta\) se e solo se la verosimiglianza ammette la fattorizzazione: \[L(\theta;\mathbf{x}) = g(T_n(\mathbf{x}),\,\theta) \cdot h(\mathbf{x}),\] dove il fattore \(g\) dipende dai dati solo tramite \(T_n\) (e può dipendere da \(\theta\)), mentre \(h\) dipende dai dati ma non da \(\theta\). Questa fattorizzazione è equivalente alla definizione condizionale di sufficienza ed è in pratica molto più agevole da verificare. L’opzione 2 permette che anche \(h\) dipenda da \(\theta\): in quel caso la fattorizzazione non garantisce la sufficienza, perché \(h\) porterebbe informazione aggiuntiva su \(\theta\) non catturata da \(T_n\). L’opzione 3 separa completamente dati e parametro nei due fattori: questa struttura implicherebbe che la verosimiglianza non dipende dai dati se non tramite \(T_n\), condizione più forte della sufficienza e in genere non verificata. L’opzione 4 descrive la proprietà della famiglia esponenziale, che è un caso particolare in cui la sufficienza vale, ma non è la formulazione del criterio di Neyman.

False
False
True
False

Per un campione i.i.d. \((X_1,\ldots,X_n)\) da un DGP \(\text{Bernoulli}(\pi)\), quale statistica è sufficiente per \(\pi\) e come lo si verifica tramite il criterio di fattorizzazione di Neyman?

\(S_n\) è sufficiente per \(\pi\) solo se \(n\) è grande; per campioni piccoli è necessario usare l’intero campione.\(\bar{X}_n\) è sufficiente per \(\pi\), ma \(S_n\) non lo è: solo la media campionaria cattura tutta l’informazione su \(\pi\).Nessuna statistica è sufficiente per \(\pi\) perché la verosimiglianza bernoulliana dipende dall’intera sequenza \((x_1,\ldots,x_n)\) e non può essere ridotta.\(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) è sufficiente per \(\pi\): la verosimiglianza \(L(\pi;\mathbf{x}) = \pi^{s}(1-\pi)^{n-s}\) (con \(s = S_n(\mathbf{x})\)) si fattorizza come \(g(s,\pi) \cdot h(\mathbf{x})\) con \(h(\mathbf{x}) = 1\).

La funzione di probabilità congiunta del campione bernoulliano è \(L(\pi;\mathbf{x}) = \pi^s(1-\pi)^{n-s}\), dove \(s = \sum_{i=1}^n x_i\). Questa espressione dipende dai dati solo tramite \(s\): applicando il criterio di Neyman con \(g(s,\pi) = \pi^s(1-\pi)^{n-s}\) e \(h(\mathbf{x}) = 1\) (costante, indipendente da \(\pi\)), si conclude che \(S_n = \sum X_i\) è sufficiente per \(\pi\). L’opzione 2 è parzialmente corretta: \(\bar{X}_n = S_n/n\) è una trasformazione biunivoca di \(S_n\), quindi è anch’essa sufficiente; ma l’affermazione che \(S_n\) non lo sia è errata. L’opzione 3 nega la sufficienza di qualsiasi statistica, mentre invece la fattorizzazione mostra chiaramente che \(S_n\) è sufficiente. L’opzione 4 condiziona la sufficienza alla dimensione campionaria: la sufficienza è una proprietà esatta, valida per ogni \(n\).

False
False
False
True

Per un campione i.i.d. da \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) con entrambi i parametri incogniti, quale statistica è sufficiente per \((\mu, \sigma^2)\)?

La coppia \(\bigl(\bar{X}_n,\, S^2_n\bigr)\) (o equivalentemente \(\bigl(\bar{X}_n,\, \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2\bigr)\)) è congiuntamente sufficiente per \((\mu, \sigma^2)\).Le statistiche d’ordine \((X_{(1)},\ldots,X_{(n)})\) sono l’unica statistica sufficiente per \((\mu,\sigma^2)\), perché preservano tutta l’informazione del campione.La coppia \(\bigl(\bar{X}_n,\, S^2_n\bigr)\) è sufficiente solo per campioni grandi; per campioni piccoli è necessario l’intero campione.Solo \(\bar{X}_n\) è sufficiente per \((\mu,\sigma^2)\), perché contiene tutta l’informazione sulla posizione della distribuzione.

Applicando il criterio di Neyman alla verosimiglianza normale: \[L(\mu,\sigma^2;\mathbf{x}) \propto (\sigma^2)^{-n/2} \exp\!\left[-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right],\] e scomponendo \(\sum(x_i-\mu)^2 = \sum(x_i-\bar{x})^2 + n(\bar{x}-\mu)^2\), si vede che la verosimiglianza dipende dai dati solo tramite \(\bar{x}_n\) e \(\sum(x_i-\bar{x}_n)^2\) (equivalente a \(S^2_n\)): la coppia \((\bar{X}_n, S^2_n)\) è quindi congiuntamente sufficiente per \((\mu,\sigma^2)\). L’opzione 2 propone solo \(\bar{X}_n\): è sufficiente per \(\mu\) quando \(\sigma^2\) è nota, ma non porta informazione sulla varianza quando entrambi i parametri sono incogniti. L’opzione 3 condiziona la sufficienza alla dimensione campionaria: è una proprietà esatta, non asintotica. L’opzione 4 è vera nel senso che le statistiche d’ordine sono sempre sufficienti (anzi minimali sufficienti per molti modelli non parametrici), ma nel caso normale \((\bar{X}_n, S^2_n)\) costituisce una riduzione ulteriore, anch’essa sufficiente e più parsimoniosa.

True
False
False
False

Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente il concetto di statistica sufficiente minimale?

Una statistica sufficiente \(T_n\) è minimale se è funzione di qualsiasi altra statistica sufficiente: non è possibile ridurre ulteriormente i dati senza perdere informazione su \(\theta\).Una statistica sufficiente \(T_n\) è minimale se coincide con lo stimatore di massima verosimiglianza di \(\theta\).Una statistica sufficiente \(T_n\) è minimale se la sua distribuzione campionaria non dipende da \(\theta\), rendendola non informativa.Una statistica sufficiente \(T_n\) è minimale se ha la dimensione più piccola possibile, ovvero è sempre scalare indipendentemente dal numero di parametri del modello.

Una statistica sufficiente è minimale se realizza la massima riduzione possibile dei dati compatibile con il non perdere informazione su \(\theta\): \(T_n\) è minimale sufficiente se è sufficiente e se è funzione di ogni altra statistica sufficiente \(U_n\) (ovvero \(T_n = f(U_n)\) per qualche funzione \(f\)). In altri termini, non esiste alcuna statistica sufficiente che sia una riduzione più spinta di \(T_n\). Per esempio, nel modello di Bernoulli \(S_n = \sum X_i\) è minimale sufficiente per \(\pi\), mentre l’intero campione \((X_1,\ldots,X_n)\) è sufficiente ma non minimale. L’opzione 2 confonde la minimalità con la dimensione scalare: una statistica minimale sufficiente può essere multivariata (come la coppia \((\bar{X}_n, S^2_n)\) per la normale con due parametri). L’opzione 3 confonde la minimalità con il MV: benché lo stimatore MV sia spesso funzione di una statistica sufficiente minimale, le due nozioni non coincidono in generale. L’opzione 4 inverte il concetto: una statistica sufficiente minimale porta la massima informazione su \(\theta\) compatibile con la riduzione dei dati, non la elimina.

True
False
False
False