Esercizi autovalutazione settimana #08

Intervallo di confidenza sulla proporzione e verifica di ipotesi

Per un campione i.i.d. da \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) con \(\sigma^2\) nota, come si costruisce l’intervallo di confidenza unilaterale superiore al livello \((1-\alpha)\) per \(\mu\), e in cosa differisce da quello bilaterale?

L’IC unilaterale superiore coincide con il limite superiore dell’IC bilaterale al livello \((1-\alpha/2)\): i due intervalli sono costruiti con la stessa soglia.L’IC unilaterale superiore è \(\left(-\infty,\; \bar{X}_n + z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\) e usa lo stesso quantile \(z_{\alpha/2}\) dell’IC bilaterale, con la sola differenza che il limite inferiore è \(-\infty\).L’IC unilaterale superiore è \(\left(-\infty,\; \bar{X}_n + z_{\alpha}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\) e usa il quantile \(z_\alpha\) (livello \(1-\alpha\)) invece di \(z_{\alpha/2}\): tutta la probabilità \(\alpha\) è concentrata su un solo lato.L’IC unilaterale superiore è \(\left[\bar{X}_n - z_{\alpha}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\; +\infty\right)\): si pone il limite superiore a \(+\infty\) e si usa \(z_\alpha\) per il limite inferiore.

Nell’IC bilaterale si distribuisce la probabilità di errore \(\alpha\) equamente sui due lati (\(\alpha/2\) per coda), usando il quantile \(z_{\alpha/2}\). Nell’IC unilaterale superiore si vuole solo garantire \(P(\mu \leq \bar{X}_n + c) = 1-\alpha\): tutta la probabilità \(\alpha\) va sulla coda sinistra, quindi si usa il quantile \(z_\alpha > z_{\alpha/2}\), ottenendo un limite superiore più ampio. Il risultato è \(\left(-\infty, \bar{X}_n + z_\alpha\,\sigma/\sqrt{n}\right]\). Simmetricamente, l’IC unilaterale inferiore è \(\left[\bar{X}_n - z_\alpha\,\sigma/\sqrt{n}, +\infty\right)\). L’opzione 2 usa \(z_{\alpha/2}\): confonde il quantile dell’IC bilaterale con quello unilaterale, producendo una copertura effettiva di \(1-\alpha/2\) invece di \(1-\alpha\). L’opzione 3 descrive l’IC unilaterale inferiore, non superiore: il limite finito è a sinistra, non a destra. L’opzione 4 confonde l’IC unilaterale con l’IC bilaterale a un livello diverso: pur avendo lo stesso valore numerico del limite, i due costrutti hanno interpretazioni e livelli di copertura diversi.

False
False
True
False

Si vuole stimare una proporzione \(\pi\) con un IC al \(95\%\) (\(z_{0.025} \approx 1.96\)) e un margine di errore massimo \(E\). Quale numerosità campionaria minima \(n\) garantisce questo obiettivo, nel caso più cautelativo (senza informazioni preliminari su \(\pi\))?

\(n \geq \left(\dfrac{1.96}{2E}\right)^2 \pi(1-\pi)\), usando il valore vero (ignoto) di \(\pi\) nella formula.\(n \geq \left(\dfrac{1.96}{E}\right)^2 \hat{\pi}(1-\hat{\pi})\), sostituendo una stima preliminare \(\hat{\pi}\) anche quando non è disponibile.\(n \geq \left(\dfrac{1.96}{E}\right)^2\), ottenuta senza vincoli su \(\hat{\pi}(1-\hat{\pi})\).\(n \geq \left(\dfrac{1.96}{2E}\right)^2\), ottenuta massimizzando \(\hat{\pi}(1-\hat{\pi})\) in \(\pi = 0.5\), dove il prodotto vale \(1/4\).

Il margine di errore dell’IC per \(\pi\) è \(E = z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})/n}\). Imponendo \(E \leq E_{\max}\) e risolvendo per \(n\): \[n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2\,\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{E^2}.\] In assenza di informazioni preliminari su \(\pi\), si adotta l’approccio più cautelativo massimizzando \(\hat{\pi}(1-\hat{\pi})\): la funzione \(f(\pi) = \pi(1-\pi)\) raggiunge il massimo \(1/4\) in \(\pi = 0.5\). Sostituendo: \[n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2}{4E^2} = \left(\frac{1.96}{2E}\right)^2.\] L’opzione 2 omette il fattore \(\hat{\pi}(1-\hat{\pi})\) nel numeratore, come se la varianza fosse sempre 1: sovrastima sistematicamente \(n\). L’opzione 3 usa \(\hat{\pi}(1-\hat{\pi})\) correttamente ma richiede una stima preliminare anche quando non è disponibile, senza indicare il valore cautelativo. L’opzione 4 usa il valore vero \(\pi\), che è ignoto e non può essere usato nella pianificazione.

False
False
False
True

Come si costruisce un intervallo di confidenza bootstrap al livello \((1-\alpha)\) per un parametro \(\theta\), e in cosa differisce dall’IC Monte Carlo?

Nell’IC bootstrap si usa la distribuzione normale come approssimazione della distribuzione campionaria; nell’IC Monte Carlo si usano i quantili empirici della distribuzione simulata.Nell’IC bootstrap si generano \(B\) campioni ricampionando con reimmissione dal campione osservato, si calcola la statistica \(T_n\) su ciascuno, e si usano i quantili empirici \(\alpha/2\) e \(1-\alpha/2\) dei \(B\) valori come estremi dell’IC; l’IC Monte Carlo usa invece campioni generati dal DGP ipotizzato.I due metodi sono identici: entrambi usano \(B\) campioni simulati e i quantili empirici; la differenza è solo nella terminologia.Nell’IC bootstrap si calcola l’IC analitico e si corregge per la distorsione usando la distribuzione bootstrap; l’IC Monte Carlo non richiede alcuna correzione per la distorsione.

L’IC bootstrap non richiede la conoscenza del DGP: si ricampiona con reimmissione dal campione osservato \((x_1,\ldots,x_n)\) per ottenere \(B\) campioni bootstrap, si calcola \(T_n^{*(b)}\) su ciascuno, e i quantili empirici \(\hat{q}_{\alpha/2}\) e \(\hat{q}_{1-\alpha/2}\) dei \(B\) valori forniscono gli estremi dell’IC. L’IC Monte Carlo segue la stessa logica dei quantili empirici, ma i campioni sono generati dal DGP ipotizzato (con parametro noto o fissato): richiede quindi la specifica del modello. Entrambi i metodi approssimano la distribuzione campionaria di \(T_n\) per via simulativa, ma differiscono nella fonte dei campioni. L’opzione 2 descrive il metodo bootstrap per la correzione della distorsione (BC bootstrap): è un raffinamento, non la procedura base. L’opzione 3 afferma che i due metodi sono identici: la differenza nella fonte dei campioni (osservato vs DGP) è sostanziale, non solo terminologica. L’opzione 4 inverte i ruoli: è il bootstrap a usare (opzionalmente) l’approssimazione normale, mentre sia il bootstrap che il Monte Carlo possono usare i quantili empirici.

False
True
False
False

Per la stima di \(\pi\) tramite IC al livello \((1-\alpha)\), esistono tre approcci principali. Quale delle seguenti affermazioni li descrive correttamente?

Il metodo dell’approssimazione normale usa \(\hat{\pi} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})/n}\) ed è accurato solo per \(n\) grande; il metodo di Wilson inverte la disuguaglianza del pivot senza approssimare \(\pi\) con \(\hat{\pi}\), ottenendo un IC asimmetrico tramite equazione di secondo grado; il metodo esatto (Clopper-Pearson) si basa sulla distribuzione binomiale ed è valido per qualsiasi \(n\).Il metodo esatto è applicabile solo se \(\pi = 0.5\), perché la distribuzione binomiale è simmetrica solo in quel caso.I tre metodi producono sempre lo stesso IC: differiscono solo per la complessità computazionale, quindi in pratica si usa sempre l’approssimazione normale.Il metodo di Wilson è più conservativo del metodo esatto perché produce intervalli più ampi; il metodo normale è il più preciso perché sfrutta il TCL.

I tre metodi differiscono nella strategia con cui gestiscono l’incertezza su \(\pi\):

Approssimazione normale: sostituisce \(\pi\) con \(\hat{\pi}\) nell’errore standard e applica il TCL; accurato per \(n\) grande, ma può produrre estremi fuori da \([0,1]\) per \(\hat{\pi}\) vicino a 0 o 1.
Metodo di Wilson: inverte direttamente la disuguaglianza \(|(\hat{\pi}-\pi)/\sqrt{\pi(1-\pi)/n}| \leq z_{\alpha/2}\) rispetto a \(\pi\), ottenendo un’equazione di secondo grado in \(\pi\); l’IC risultante è asimmetrico e sempre contenuto in \([0,1]\), con migliori proprietà di copertura per \(n\) piccolo.
Metodo esatto (Clopper-Pearson): costruisce l’IC invertendo la distribuzione binomiale esatta, senza approssimazioni; è valido per qualsiasi \(n\) ma generalmente conservativo (copertura effettiva \(\geq 1-\alpha\)).

L’opzione 2 afferma che i tre metodi coincidono: producono IC diversi, soprattutto per \(n\) piccolo o \(\hat{\pi}\) estremi. L’opzione 3 inverte la relazione di conservatività: è il metodo esatto a essere più conservativo (IC più ampi), non Wilson. L’opzione 4 limita il metodo esatto al caso \(\pi=0.5\): la binomiale è definita per qualsiasi \(\pi \in (0,1)\).

True
False
False
False

La variabile casuale Beta con parametri \(a > 0\) e \(b > 0\), indicata con \(\text{Beta}(a, b)\), ha supporto \((0,1)\). Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente il suo legame con la distribuzione binomiale nel contesto dell’intervallo di confidenza esatto (Clopper-Pearson) per \(\pi\)?

Osservati \(s\) successi in \(n\) prove, gli estremi dell’IC esatto al livello \((1-\alpha)\) sono il quantile \(\alpha/2\) di \(\text{Beta}(s,\, n-s+1)\) e il quantile \(1-\alpha/2\) di \(\text{Beta}(s+1,\, n-s)\).Gli estremi dell’IC esatto sono il quantile \(\alpha/2\) di \(\text{Beta}(s+1,\, n-s+1)\) e il quantile \(1-\alpha/2\) di \(\text{Beta}(s,\, n-s)\).Il legame tra Beta e binomiale vale solo per \(a = b\) (distribuzione Beta simmetrica), corrispondente al caso \(\pi = 0.5\).La distribuzione \(\text{Beta}(a,b)\) è il limite della binomiale per \(n \to \infty\): per \(n\) grande si può sostituire la binomiale con la Beta nei calcoli esatti.

Il legame tra la distribuzione Beta e quella binomiale è un risultato fondamentale dell’analisi bayesiana e della statistica delle ordini. Per il metodo esatto di Clopper-Pearson, il limite inferiore dell’IC è il valore di \(\pi\) tale che \(P(X \geq s) = \alpha/2\) con \(X \sim \text{Bin}(n,\pi)\): si può dimostrare che questo quantile coincide con il quantile \(\alpha/2\) di \(\text{Beta}(s, n-s+1)\). Simmetricamente, il limite superiore è il quantile \(1-\alpha/2\) di \(\text{Beta}(s+1, n-s)\). Questo permette di calcolare l’IC esatto usando la funzione di distribuzione della Beta, disponibile in tutti i software statistici, senza ricorrere a inversioni numeriche della binomiale. L’opzione 2 riporta parametri scorretti per la Beta: scambia l’incremento di 1 tra limite inferiore e superiore. L’opzione 3 confonde il legame Beta-binomiale con l’approssimazione normale alla binomiale: il limite della binomiale per \(n\to\infty\) è la distribuzione normale, non la Beta. L’opzione 4 limita il legame al caso simmetrico \(a=b\): il risultato vale per qualsiasi \(s\) e \(n\).

True
False
False
False

Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente la distinzione tra ipotesi nulla \(H_0\) e ipotesi alternativa \(H_1\), e tra ipotesi semplice e composta?

\(H_0\) è l’ipotesi che si vuole dimostrare vera; \(H_1\) è l’ipotesi di partenza che si cerca di falsificare. Un’ipotesi semplice riguarda un solo parametro, una composta ne riguarda almeno due.\(H_0\) è l’ipotesi mantenuta per default (es. \(\theta = \theta_0\)), che si rifiuta solo in presenza di evidenza sufficiente nei dati; \(H_1\) è l’affermazione alternativa (es. \(\theta \neq \theta_0\)). Un’ipotesi è semplice se specifica completamente la distribuzione (es. \(\theta = \theta_0\)), composta se lascia il parametro parzialmente non specificato (es. \(\theta > \theta_0\)).La distinzione tra \(H_0\) e \(H_1\) è puramente convenzionale: i due ruoli sono intercambiabili senza conseguenze sulla procedura del test.Un’ipotesi semplice è sempre bilaterale (es. \(\theta = \theta_0\)); un’ipotesi composta è sempre unilaterale (es. \(\theta > \theta_0\) oppure \(\theta < \theta_0\)).

L’ipotesi nulla \(H_0\) rappresenta lo status quo o l’affermazione di default: viene mantenuta fino a quando i dati non forniscono evidenza sufficiente per rifiutarla. L’ipotesi alternativa \(H_1\) è l’affermazione che si “vuole dimostrare” o che si sospetta vera. La struttura del test è asimmetrica: si controlla il rischio di rifiutare \(H_0\) quando è vera (errore di I tipo), non il rischio opposto. Un’ipotesi è semplice se identifica un’unica distribuzione (es. \(\theta = \theta_0\)); è composta se individua una famiglia di distribuzioni (es. \(\theta > \theta_0\), che include infiniti valori del parametro). L’opzione 2 inverte i ruoli di \(H_0\) e \(H_1\), e confonde la semplicità con il numero di parametri. L’opzione 3 afferma l’intercambiabilità: i due ruoli non sono simmetrici, perché il test controlla \(\alpha = P(\text{rifiuto} \mid H_0)\), non \(P(\text{rifiuto} \mid H_1)\). L’opzione 4 associa rigidamente ipotesi semplice a bilaterale: un’ipotesi bilaterale \(\theta \neq \theta_0\) è composta (include tutti i valori \(\theta \neq \theta_0\)), mentre \(\theta = \theta_0\) è semplice ma non è “bilaterale” in senso tecnico.

False
True
False
False

Qual è la logica alla base di un test di ipotesi e quale ruolo svolge la statistica test?

La statistica test \(T_n\) ha distribuzione nota sotto \(H_0\); se il valore osservato \(t_n\) cade in una regione di bassa probabilità sotto \(H_0\) (regione critica), i dati sono considerati incompatibili con \(H_0\) e questa viene rifiutata.La logica del test consiste nel calcolare la probabilità che \(H_0\) sia vera dati i dati osservati; se questa probabilità è inferiore ad \(\alpha\), si rifiuta \(H_0\).La statistica test \(T_n\) viene confrontata con il parametro \(\theta_0\) di \(H_0\): se \(T_n > \theta_0\) si rifiuta \(H_0\), altrimenti si accetta.La statistica test \(T_n\) ha distribuzione nota sotto \(H_1\); se il valore osservato \(t_n\) è vicino al valore atteso sotto \(H_1\), si accetta \(H_1\) e si rifiuta \(H_0\).

Il test di ipotesi si basa sul ragionamento per assurdo: si assume \(H_0\) vera e si valuta quanto sono “estremi” i dati osservati sotto questa ipotesi. La statistica test \(T_n\) è scelta in modo da avere una distribuzione completamente nota sotto \(H_0\): questo permette di quantificare l’estremalità di \(t_n\). Se \(t_n\) cade nella regione critica (l’insieme dei valori molto improbabili sotto \(H_0\), con probabilità totale \(\alpha\)), si conclude che i dati sarebbero troppo rari se \(H_0\) fosse vera, e si rifiuta \(H_0\). L’opzione 2 descrive un test basato sulla distribuzione sotto \(H_1\): è concettualmente diverso (si avvicina alla logica della verosimiglianza), e il test classico non richiede la distribuzione sotto \(H_1\) per la regola di decisione. L’opzione 3 confronta direttamente la statistica con il valore del parametro: è una semplificazione errata che ignora la variabilità campionaria e la distribuzione di \(T_n\). L’opzione 4 descrive il p-value come probabilità a posteriori di \(H_0\): è un errore classico di interpretazione; il p-value è \(P(T_n \geq t_n \mid H_0)\), una probabilità sui dati dato il parametro, non sul parametro dati i dati.

True
False
False
False

Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente gli errori di I e II tipo in un test di ipotesi?

L’errore di I tipo consiste nel non rifiutare \(H_0\) quando è vera; l’errore di II tipo consiste nel rifiutare \(H_0\) quando è falsa. I due errori si riducono entrambi aumentando il livello di significatività \(\alpha\).L’errore di I tipo riguarda la stima del parametro; l’errore di II tipo riguarda la decisione sul test. Sono concetti indipendenti e possono essere minimizzati separatamente.L’errore di I tipo e l’errore di II tipo hanno sempre la stessa probabilità, pari ad \(\alpha\), perché il test è simmetrico rispetto alle due ipotesi.L’errore di I tipo consiste nel rifiutare \(H_0\) quando è vera, con probabilità \(\alpha\); l’errore di II tipo consiste nel non rifiutare \(H_0\) quando è falsa (cioè quando vale \(H_1\)), con probabilità \(\beta\). Ridurre \(\alpha\) a parità di \(n\) aumenta generalmente \(\beta\).

I due tipi di errore nascono dall’incertezza campionaria nella decisione binaria del test:

Errore di I tipo: rifiutare \(H_0\) quando \(H_0\) è vera. La sua probabilità è il livello di significatività \(\alpha\), fissato dal ricercatore prima di osservare i dati.
Errore di II tipo: non rifiutare \(H_0\) quando \(H_1\) è vera. La sua probabilità \(\beta\) dipende dal vero valore del parametro sotto \(H_1\), da \(n\) e da \(\alpha\).

I due errori sono in trade-off: a parità di \(n\), ridurre \(\alpha\) (rendere il test più severo) allarga la regione di non rifiuto e aumenta \(\beta\). Per ridurre entrambi occorre aumentare \(n\). L’opzione 2 inverte le definizioni dei due errori. L’opzione 3 afferma la simmetria delle probabilità: il test è asimmetrico per costruzione, poiché controlla \(\alpha\) ma non direttamente \(\beta\). L’opzione 4 scollega i due errori dal contesto della decisione: entrambi riguardano la decisione del test, non la stima.

False
False
False
True

Nella regola di decisione di un test di ipotesi, qual è il ruolo del livello di significatività \(\alpha\) e come si esprime operativamente la decisione?

\(\alpha\) è la probabilità che \(H_0\) sia vera; si rifiuta \(H_0\) se \(\alpha < 0.05\), indipendentemente dal valore della statistica test.\(\alpha\) è la soglia massima tollerata per l’errore di II tipo; si rifiuta \(H_0\) se la statistica test supera il valore del parametro sotto \(H_0\).\(\alpha\) è la soglia massima tollerata per l’errore di I tipo; si rifiuta \(H_0\) se la statistica test \(t_n\) cade nella regione critica, ovvero se il p-value è inferiore ad \(\alpha\).\(\alpha\) è fissato automaticamente dai dati come la probabilità del valore osservato della statistica test; si rifiuta \(H_0\) se questa probabilità è piccola.

Il livello di significatività \(\alpha\) (tipicamente \(0.01\), \(0.05\) o \(0.10\)) è scelto prima di osservare i dati e definisce la soglia di tolleranza per l’errore di I tipo: la regione critica è costruita in modo che \(P(T_n \in \text{RC} \mid H_0) = \alpha\). Operativamente, si rifiuta \(H_0\) se \(t_n\) cade nella regione critica, oppure — in modo equivalente — se il p-value \(= P(T_n \geq t_n \mid H_0)\) è inferiore ad \(\alpha\). I livelli convenzionali \(0.01\), \(0.05\), \(0.10\) corrispondono a gradi crescenti di tolleranza per l’errore di I tipo. L’opzione 2 interpreta \(\alpha\) come probabilità a posteriori di \(H_0\): è il classico errore di confusione tra p-value e probabilità dell’ipotesi. L’opzione 3 confonde l’errore di I tipo con il II tipo. L’opzione 4 descrive il p-value come se fosse fissato dai dati al posto di \(\alpha\): è vero che il p-value dipende dai dati, ma il confronto avviene con \(\alpha\), che è fissato a priori.

False
False
True
False

Per un campione i.i.d. da \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) con \(\sigma^2\) nota, si vuole testare \(H_0\colon \mu = \mu_0\) contro \(H_1\colon \mu \neq \mu_0\) al livello \(\alpha\). Qual è la statistica test, la sua distribuzione sotto \(H_0\) e la regola di decisione corretta?

\(Z_n = \dfrac{\bar{X}_n - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\) sotto \(H_0\); si rifiuta \(H_0\) se \(Z_n > z_{\alpha}\).\(Z_n = \dfrac{\bar{X}_n - \mu_0}{S_n/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\) sotto \(H_0\); si rifiuta \(H_0\) se \(|Z_n| > z_{\alpha/2}\).\(Z_n = \dfrac{\bar{X}_n - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\) sotto \(H_0\); si rifiuta \(H_0\) se \(|Z_n| > z_{\alpha/2}\).\(Z_n = \dfrac{\bar{X}_n - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\) sotto \(H_0\); si rifiuta \(H_0\) se \(Z_n > z_{\alpha/2}\) oppure \(Z_n < 0\).

La statistica test per \(H_0\colon \mu = \mu_0\) con varianza nota è lo z-test: \[Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1) \quad \text{sotto } H_0.\] Per il test bilaterale \(H_1\colon \mu \neq \mu_0\), si rifiuta \(H_0\) se il valore osservato è estremo in entrambe le code: \(|Z_n| > z_{\alpha/2}\), ovvero \(Z_n > z_{\alpha/2}\) oppure \(Z_n < -z_{\alpha/2}\). La regione critica ha probabilità totale \(\alpha\) sotto \(H_0\) (\(\alpha/2\) per coda). L’opzione 2 usa \(z_\alpha\) invece di \(z_{\alpha/2}\): è la regola corretta per il test unilaterale \(H_1\colon \mu > \mu_0\), non per quello bilaterale. L’opzione 3 rifiuta per \(Z_n > z_{\alpha/2}\) oppure \(Z_n < 0\): la seconda condizione (\(Z_n < 0\)) non delimita una regione critica simmetrica e produrrebbe un livello effettivo superiore ad \(\alpha\). L’opzione 4 usa \(S_n\) invece di \(\sigma\) al denominatore: quando \(\sigma^2\) è nota si usa il suo valore esatto, non la stima campionaria.

False
False
True
False

Per il test z sulla media \(H_0\colon \mu = \mu_0\) vs \(H_1\colon \mu > \mu_0\) con \(\sigma\) nota, come si definisce la potenza del test e da cosa dipende?

La potenza è \(1 - \alpha\); dipende solo dal livello di significatività scelto e non dal vero valore del parametro sotto \(H_1\).La potenza è \(1 - \beta = P(\text{rifiutare } H_0 \mid \mu = \mu_1)\) con \(\mu_1 > \mu_0\); cresce all’aumentare di \(|\mu_1 - \mu_0|\), di \(n\) e al diminuire di \(\sigma\); aumentare \(\alpha\) aumenta la potenza ma aumenta anche l’errore di I tipo.La potenza è \(\beta = P(\text{non rifiutare } H_0 \mid \mu = \mu_1)\); si vuole che sia vicina a 1 per un buon test.La potenza è \(P(\text{rifiutare } H_0 \mid H_0 \text{ vera})\); è uguale ad \(\alpha\) per costruzione del test.

La potenza di un test misura la sua capacità di rilevare un effetto reale: è la probabilità di rifiutare \(H_0\) quando \(H_1\) è vera, cioè \(1-\beta\). Per il test z unilaterale con \(\mu_1 > \mu_0\): \[\text{Potenza}(\mu_1) = P\!\left(Z_n > z_\alpha \mid \mu = \mu_1\right) = 1 - \Phi\!\left(z_\alpha - \frac{(\mu_1-\mu_0)\sqrt{n}}{\sigma}\right).\] La potenza cresce al crescere di \(|\mu_1 - \mu_0|\) (effetto più grande), di \(n\) (più informazione) e al diminuire di \(\sigma\) (meno rumore). Aumentare \(\alpha\) sposta la soglia \(z_\alpha\) verso sinistra, aumentando la potenza ma al costo di un maggiore errore di I tipo: è il trade-off fondamentale del test. L’opzione 2 confonde potenza e \(\beta\): \(\beta\) è la probabilità dell’errore di II tipo, la potenza è il suo complemento \(1-\beta\). L’opzione 3 confonde la potenza con \(1-\alpha\) (la copertura dell’IC bilaterale): la potenza dipende dal vero valore di \(\mu\) sotto \(H_1\), non solo da \(\alpha\). L’opzione 4 descrive il livello del test \(\alpha = P(\text{rifiuto} \mid H_0)\), non la potenza.

False
True
False
False

Si vuole testare \(H_0\colon \mu = \mu_0\) contro \(H_1\colon \mu \neq \mu_0\) con \(\sigma^2\) incognita. Come cambia la procedura a seconda che il DGP sia normale o non normale?

In entrambi i casi si usa la distribuzione \(t(n-1)\), perché la \(t\) converge alla normale per \(n\) grande e non fa differenza quale si usi.Se il DGP non è normale occorre trasformare i dati per renderli normali prima di applicare la statistica \(T_n\); senza questa trasformazione il test è invalido per qualsiasi \(n\).Se il DGP è normale, la statistica \(T_n = (\bar{X}_n - \mu_0)/(S_n/\sqrt{n})\) ha distribuzione esatta \(t(n-1)\) sotto \(H_0\) per qualsiasi \(n\); se il DGP non è normale, per \(n\) grande \(T_n\) è approssimativamente \(\mathcal{N}(0,1)\) per il TCL, e si usano i quantili normali.Se il DGP è normale si usa sempre la distribuzione \(\mathcal{N}(0,1)\) perché la varianza campionaria \(S_n^2\) è uno stimatore corretto di \(\sigma^2\); se il DGP non è normale il test non è applicabile.

Quando \(\sigma^2\) è incognita si usa la statistica \(T_n = (\bar{X}_n - \mu_0)/(S_n/\sqrt{n})\), il cui comportamento dipende dal DGP:

DGP normale: \(T_n \sim t(n-1)\) esattamente sotto \(H_0\), per qualsiasi \(n\); si usano i quantili della \(t(n-1)\).
DGP non normale: \(T_n\) non ha distribuzione esatta \(t\), ma per \(n\) grande il TCL garantisce \(T_n \stackrel{a}{\sim} \mathcal{N}(0,1)\) sotto \(H_0\); si usano i quantili normali e il test è asintoticamente valido.

L’opzione 2 afferma che per DGP normale si usa la \(\mathcal{N}(0,1)\): è errata, la distribuzione esatta con \(\sigma^2\) incognita è la \(t(n-1)\), più pesante sulle code. L’opzione 3 afferma che è indifferente usare \(t(n-1)\) o \(\mathcal{N}(0,1)\): per \(n\) piccolo la differenza è rilevante (la \(t\) ha code più pesanti) e influenza il livello effettivo del test. L’opzione 4 richiede una trasformazione dei dati per i DGP non normali: non è necessaria, il TCL garantisce la validità asintotica senza trasformazioni.

False
False
True
False

Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente il p-value e il suo utilizzo nella verifica di ipotesi?

Il p-value è la probabilità, calcolata assumendo \(H_0\) vera, di osservare una statistica test uguale o più estrema di quella osservata; si rifiuta \(H_0\) al livello \(\alpha\) se il p-value è inferiore ad \(\alpha\).Il p-value è la probabilità che \(H_0\) sia vera alla luce dei dati osservati; un p-value di \(0.03\) significa che \(H_0\) ha il \(3\%\) di probabilità di essere vera.Il p-value è la probabilità di commettere un errore di I tipo nel test specifico condotto; coincide con il livello di significatività \(\alpha\) scelto dal ricercatore.Il p-value misura la dimensione pratica dell’effetto osservato: un p-value molto piccolo implica necessariamente che la differenza tra \(\bar{X}_n\) e \(\mu_0\) sia grande in termini sostanziali.

Il p-value si definisce come: \[p = P(T_n \geq t_n^{\text{obs}} \mid H_0),\] ossia la probabilità — sotto \(H_0\) — di ottenere un valore della statistica test almeno tanto estremo quanto quello osservato. È una misura di compatibilità tra i dati e \(H_0\): un p-value piccolo indica che i dati sarebbero rari se \(H_0\) fosse vera. La regola di decisione è: si rifiuta \(H_0\) al livello \(\alpha\) se e solo se \(p < \alpha\). Questo è equivalente a confrontare \(t_n^{\text{obs}}\) con la regione critica. L’opzione 2 è l’errore di interpretazione più diffuso: il p-value è una probabilità sui dati dato il parametro (\(P(\text{dati} \mid H_0)\)), non una probabilità sul parametro dati i dati (\(P(H_0 \mid \text{dati})\)); quest’ultima è una probabilità bayesiana. L’opzione 3 confonde il p-value con \(\alpha\): \(\alpha\) è fissato prima di osservare i dati, il p-value dipende dai dati osservati e varia da campione a campione. L’opzione 4 confonde significatività statistica e rilevanza pratica: con \(n\) molto grande anche differenze minime producono p-value piccoli, senza che la differenza sia sostanzialmente rilevante.

True
False
False
False