Esercizi autovalutazione settimana #01

Campionamento (introduzione)

Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente il campionamento casuale semplice?

Ogni sottoinsieme di \(n\) unità della popolazione ha la stessa probabilità di essere estratto come campione.Le unità vengono selezionate in ordine crescente del loro identificativo per garantire l’equità dell’estrazione.Il campionamento casuale semplice garantisce che le unità vengano estratte in modo indipendente l’una dall’altra.Ogni unità della popolazione ha la stessa probabilità marginale di essere inclusa nel campione, ma sottoinsiemi diversi possono avere probabilità di selezione diverse.

Nel campionamento casuale semplice tutti gli \(\binom{N}{n}\) sottoinsiemi (nel caso senza ripetizione) oppure tutte le \(N^n\) sequenze (nel caso con ripetizione) hanno la stessa probabilità di essere selezionati. La condizione di equiprobabilità marginale delle singole unità (opzione 2) è una conseguenza del CCS, ma non ne costituisce la definizione: è una condizione necessaria ma non sufficiente. L’indipendenza delle estrazioni (opzione 3) è invece una proprietà del campionamento con ripetizione, non del CCS in generale.

True
False
False
False

In un campionamento senza ripetizione, cosa accade dopo ogni estrazione?

La probabilità di selezione delle unità rimanenti rimane uguale a \(1/N\) ad ogni estrazione successiva.Le unità vengono estratte finché non si raggiunge una soglia prestabilita di variabilità nel campione.L’unità estratta viene annotata e poi reinserita nella popolazione prima dell’estrazione successiva.L’unità estratta viene rimossa dalla popolazione e non può essere selezionata nelle estrazioni successive.

Nel campionamento senza ripetizione ogni unità può comparire al più una volta: dopo l’estrazione viene rimossa dalla popolazione, quindi la dimensione della popolazione disponibile diminuisce di 1 ad ogni passo. Questo implica che le estrazioni successive non sono indipendenti. L’opzione 2 descrive invece il campionamento con ripetizione. L’opzione 3 è errata perché, non reinserendo l’unità, la probabilità di selezione delle rimanenti cambia ad ogni estrazione (da \(1/N\) diventa \(1/(N-1)\), poi \(1/(N-2)\), ecc.).

False
False
False
True

Da una popolazione di \(N = 4\) unità si vogliono estrarre \(n = 2\) unità con un campionamento con ripetizione, tenendo conto dell’ordine di estrazione. Quanti campioni distinti è possibile ottenere?

\(12\)\(6\)\(24\)\(16\)

Quando si tiene conto dell’ordine e si ammette la ripetizione, si contano le disposizioni con ripetizione di \(N\) elementi a gruppi di \(n\): il numero è \(N^n = 4^2 = 16\). L’opzione 2 (\(6 = \binom{4}{2}\)) corrisponde alle combinazioni semplici (senza ripetizione, senza ordine). L’opzione 3 (\(12 = 4 \times 3\)) corrisponde alle disposizioni semplici (senza ripetizione, con ordine). L’opzione 4 (\(24 = 4!\)) è il numero di permutazioni di 4 elementi, grandezza non pertinente a questo contesto.

False
False
False
True

Da una popolazione di \(N = 4\) unità si vogliono estrarre \(n = 2\) unità con un campionamento senza ripetizione, senza tener conto dell’ordine di estrazione. Quanti campioni distinti è possibile ottenere?

\(16\)\(12\)\(2\)\(6\)

Quando non si tiene conto dell’ordine e non si ammette la ripetizione, si contano le combinazioni semplici di \(N\) elementi a gruppi di \(n\): \[\binom{N}{n} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = 6.\] L’opzione 2 (\(12 = 4 \times 3\)) è il numero di disposizioni semplici (senza ripetizione, con ordine): corrisponde a contare \(\{A,B\}\) e \(\{B,A\}\) come campioni diversi, il che non è corretto quando l’ordine non conta. L’opzione 3 (\(16 = 4^2\)) corrisponde alle disposizioni con ripetizione (con ordine e con ripetizione). L’opzione 4 non ha un significato combinatorio in questo contesto.

False
False
False
True

Qual è la distinzione corretta tra campione casuale e campione osservato?

Il campione casuale è quello estratto con probabilità uguali per tutte le unità, mentre il campione osservato è estratto con probabilità diverse.Non esiste alcuna distinzione rilevante: i due termini sono sinonimi e vengono usati in modo intercambiabile.Il campione casuale è sempre di dimensione maggiore del campione osservato, perché include tutte le possibili estrazioni.Il campione casuale è un insieme di variabili aleatorie (prima dell’estrazione), mentre il campione osservato è la specifica realizzazione numerica ottenuta dopo l’estrazione.

Prima di effettuare l’estrazione, il campione è un insieme di variabili aleatorie \((X_1, \ldots, X_n)\): questo è il campione casuale. Una volta effettuata l’estrazione e registrati i valori, si ottiene una specifica sequenza di numeri \((x_1, \ldots, x_n)\): questo è il campione osservato (o realizzato). La distinzione è fondamentale per l’inferenza statistica, perché le proprietà degli stimatori (correttezza, efficienza, ecc.) si riferiscono al campione come variabile aleatoria, non alla singola realizzazione. Le opzioni 2, 3 e 4 confondono questa distinzione con altre caratteristiche del disegno campionario o non hanno senso formale.

False
False
False
True

Sia \(X \sim \text{Bernoulli}(\pi)\), dove \(\pi \in (0,1)\) indica la probabilità di successo. Qual è la funzione di massa di probabilità di \(X\)?

\(P(X = x) = \pi^{x}(1-\pi)^{1-x}\), per \(x \in \{0, 1, 2, \ldots\}\)\(P(X = x) = \pi^{x}(1-\pi)^{1-x}\), per \(x \in \{0, 1\}\)\(P(X = x) = \binom{1}{x}\pi^{x}(1-\pi)^{1-x}\), per \(x \in \{0, 1, \ldots, n\}\)\(P(X = x) = \dfrac{e^{-\pi}\,\pi^{x}}{x!}\), per \(x \in \{0, 1, 2, \ldots\}\)

La variabile di Bernoulli assume solo i valori \(0\) (insuccesso) e \(1\) (successo), quindi il supporto è \(\{0,1\}\). La funzione di massa è \(P(X=x)=\pi^x(1-\pi)^{1-x}\) per \(x \in \{0,1\}\): si verifica facilmente che per \(x=1\) dà \(\pi\) e per \(x=0\) dà \(1-\pi\). L’opzione 2 usa la stessa formula ma con supporto errato (i valori \(x \geq 2\) darebbero probabilità negative per certi \(\pi\)). L’opzione 3 descrive la distribuzione Binomiale \(B(n, \pi)\) (con \(\binom{n}{x}\) e supporto fino a \(n\)). L’opzione 4 è la funzione di massa della distribuzione di Poisson con parametro \(\pi\).

False
True
False
False

Sia \(X \sim \text{Bernoulli}(\pi)\), dove \(\pi \in (0,1)\). Qual è la coppia \(\bigl(\mathrm{E}[X],\, \mathrm{Var}(X)\bigr)\)?

\(\bigl(1/\pi,\; 1/\pi^2\bigr)\)\(\bigl(\pi,\; \pi(1-\pi)\bigr)\)\(\bigl(\pi,\; \pi^2\bigr)\)\(\bigl(\pi(1-\pi),\; \pi\bigr)\)

Per \(X \sim \text{Bernoulli}(\pi)\):

Valore atteso: \(\mathrm{E}[X] = 0 \cdot (1-\pi) + 1 \cdot \pi = \pi\).
Varianza: \(\mathrm{Var}(X) = \mathrm{E}[X^2] - (\mathrm{E}[X])^2 = \pi - \pi^2 = \pi(1-\pi)\).

Si noti che \(\mathrm{Var}(X) \leq 1/4\) per ogni \(\pi\), con massimo in \(\pi = 1/2\). L’opzione 2 inverte i due valori. L’opzione 3 usa \(\pi^2\) al posto di \(\pi(1-\pi)\): è l’errore tipico di chi dimentica di sottrarre il quadrato della media. L’opzione 4 non ha alcun riscontro nella distribuzione di Bernoulli.

False
True
False
False

Quale delle seguenti affermazioni definisce correttamente lo spazio campionario nel contesto del campionamento?

L’insieme di tutti i possibili campioni che possono essere estratti dalla popolazione secondo un dato schema di campionamento.L’insieme delle stime ottenibili applicando uno stimatore ai campioni già osservati.L’insieme delle unità della popolazione che sono state effettivamente selezionate in un’estrazione.L’insieme di tutti i possibili valori che una singola unità della popolazione può assumere.

Lo spazio campionario è l’insieme di tutti i campioni che potrebbero essere estratti dalla popolazione sotto un determinato schema di campionamento: ogni suo elemento è un possibile campione, e ad esso viene assegnata una probabilità. L’opzione 2 descrive invece il campione osservato, cioè una singola realizzazione. L’opzione 3 confonde lo spazio campionario con il supporto della variabile rilevata sulle unità. L’opzione 4 descrive la distribuzione campionaria di uno stimatore, che è un concetto derivato dallo spazio campionario ma non coincide con esso.

True
False
False
False

Da una popolazione di \(N = 5\) unità si estraggono \(n = 2\) unità senza ripetizione e senza tener conto dell’ordine. Qual è la cardinalità dello spazio campionario, ovvero il numero di campioni distinti possibili?

\(10\)\(20\)\(25\)\(120\)

Quando il campionamento è senza ripetizione e senza ordine, i campioni distinti sono le combinazioni semplici: \[|\Omega| = \binom{N}{n} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = 10.\] L’opzione 2 (\(20 = 5 \times 4\)) è il numero di disposizioni semplici (senza ripetizione, con ordine): conta ogni coppia due volte a seconda dell’ordine di estrazione. L’opzione 3 (\(25 = 5^2\)) è il numero di disposizioni con ripetizione (con ripetizione, con ordine). L’opzione 4 (\(120 = 5!\)) è il numero di permutazioni di tutti gli \(N\) elementi, grandezza non pertinente a questo contesto.

True
False
False
False

Da una popolazione di \(N = 3\) unità \(\{A, B, C\}\) si estraggono \(n = 2\) unità. Come cambia la cardinalità dello spazio campionario al variare dello schema di campionamento?

Lo spazio campionario ha \(6\) elementi con ripetizione e ordine, \(3\) senza ripetizione con ordine, e \(3\) senza ripetizione e senza ordine.Lo spazio campionario ha \(9\) elementi con ripetizione e ordine, \(9\) senza ripetizione con ordine, e \(3\) senza ripetizione e senza ordine.Lo spazio campionario ha sempre \(6\) elementi indipendentemente dallo schema, perché dipende solo da \(N\) e \(n\).Lo spazio campionario ha \(9\) elementi con ripetizione e ordine, \(6\) senza ripetizione con ordine, e \(3\) senza ripetizione e senza ordine.

I tre schemi principali danno spazi campionari di dimensione diversa:

Con ripetizione, con ordine (disposizioni con ripetizione): \(N^n = 3^2 = 9\).
Senza ripetizione, con ordine (disposizioni semplici): \(N(N-1) = 3 \times 2 = 6\).
Senza ripetizione, senza ordine (combinazioni semplici): \(\binom{N}{n} = \binom{3}{2} = 3\).

Lo schema di campionamento determina quali sequenze o sottoinsiemi costituiscono campioni distinti, e quindi la struttura e la dimensione dello spazio campionario. Le altre opzioni riportano valori numerici errati per almeno uno dei tre schemi.

False
False
False
True

Si consideri una popolazione di \(N = 3\) unità \(\{1, 2, 3\}\) da cui si estraggono \(n = 2\) unità senza ripetizione, tenendo conto dell’ordine. Quale delle seguenti opzioni elenca correttamente e completamente tutti gli elementi dello spazio campionario?

\(\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{2,3\}\)\((1,2),\,(1,3),\,(2,1),\,(2,3),\,(3,1),\,(3,2)\)\((1,2),\,(1,3),\,(2,3)\)\((1,1),\,(1,2),\,(1,3),\,(2,2),\,(2,3),\,(3,3)\)

Con campionamento senza ripetizione e con ordine, i campioni sono le disposizioni semplici di 3 elementi a 2 a 2: ogni unità può comparire al più una volta, ma \((1,2)\) e \((2,1)\) sono campioni distinti. Si ottengono \(3 \times 2 = 6\) coppie ordinate: \((1,2),\,(1,3),\,(2,1),\,(2,3),\,(3,1),\,(3,2)\). L’opzione 2 elenca correttamente i 3 elementi dello spazio campionario senza ripetizione e senza ordine (combinazioni), ma ignora l’ordine richiesto dal testo. L’opzione 3 include coppie con unità ripetuta (es. \((1,1)\)), compatibili con il campionamento con ripetizione. L’opzione 4 elenca solo 3 coppie ordinate, omettendo quelle con ordine invertito.

False
True
False
False