Esercizi autovalutazione settimana #02

Campionamento e dintorni

Nel processo inferenziale statistico, qual è la sequenza corretta che collega la realtà ai dati osservati?

Dati osservati \(\rightarrow\) modello statistico \(\rightarrow\) modello generatore dei dati (DGP) \(\rightarrow\) modello scientifico.Modello scientifico \(\rightarrow\) modello statistico \(\rightarrow\) modello generatore dei dati (DGP) \(\rightarrow\) dati osservati.Modello generatore dei dati (DGP) \(\rightarrow\) modello scientifico \(\rightarrow\) dati osservati \(\rightarrow\) modello statistico.Modello scientifico \(\rightarrow\) modello generatore dei dati (DGP) \(\rightarrow\) modello statistico \(\rightarrow\) dati osservati.

Il processo inferenziale segue una direzione precisa: la teoria o conoscenza sostanziale sul fenomeno costituisce il modello scientifico, che ispira la scelta del modello generatore dei dati (DGP), ovvero il meccanismo probabilistico che si ipotizza abbia prodotto i dati. Il DGP, opportunamente semplificato e formalizzato, diventa il modello statistico, a partire dal quale si ottengono i dati osservati come realizzazione del campione casuale. L’opzione 2 descrive invece il percorso inverso, tipico dell’analisi esplorativa, non del processo inferenziale nel suo insieme. Le opzioni 3 e 4 invertono il ruolo del modello statistico e del DGP.

False
False
False
True

Cosa rappresenta il modello generatore dei dati (DGP, Data Generating Process)?

L’insieme delle procedure di raccolta e pulizia dei dati utilizzate dal ricercatore prima dell’analisi statistica.L’algoritmo computazionale usato per simulare dati artificiali a partire da un campione osservato.Il modello statistico stimato sui dati, ottenuto dopo aver applicato un metodo di stima ai valori osservati.Il meccanismo probabilistico che si ipotizza abbia prodotto i dati osservati, descrivendo come le variabili casuali vengono generate nella realtà.

Il DGP rappresenta il meccanismo reale (o ipotizzato) che ha generato i dati: specifica la distribuzione di probabilità delle variabili casuali in gioco e le loro relazioni. È un oggetto teorico, non osservabile direttamente, che il ricercatore cerca di approssimare con il modello statistico. L’opzione 2 confonde il DGP con le procedure operative di raccolta dati. L’opzione 3 descrive il modello stimato, che è il risultato dell’inferenza sul DGP, non il DGP stesso. L’opzione 4 descrive una procedura di simulazione, che può essere usata per studiare il DGP ma non ne costituisce la definizione.

False
False
False
True

In un campione casuale semplice con ripetizione, le osservazioni \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sono variabili casuali. Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente le loro proprietà?

Le \(X_i\) sono indipendenti ma non identicamente distribuite: la distribuzione cambia di estrazione in estrazione perché la popolazione si modifica.Le \(X_i\) sono né indipendenti né identicamente distribuite, perché ogni estrazione altera irrimediabilmente la composizione della popolazione.Le \(X_i\) sono identicamente distribuite ma non indipendenti: conoscere il valore di \(X_1\) modifica la distribuzione di \(X_2\).Le \(X_i\) sono indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.): ogni osservazione segue la stessa distribuzione della popolazione e l’esito di un’estrazione non influenza quello delle successive.

Nel campionamento con ripetizione, ogni unità estratta viene reinserita nella popolazione prima dell’estrazione successiva: la popolazione rimane identica ad ogni passo, quindi tutte le \(X_i\) seguono la stessa distribuzione (identicamente distribuite) e l’esito di un’estrazione non modifica le probabilità delle successive (indipendenza). La condizione i.i.d. è il fondamento su cui poggiano molti risultati teorici dell’inferenza, tra cui la Legge dei grandi numeri e il Teorema del limite centrale. L’opzione 2 descrive ciò che accade nel campionamento senza ripetizione, dove le estrazioni non sono indipendenti. L’opzione 3 è incoerente: se la popolazione non cambia (con ripetizione), la distribuzione rimane la stessa. L’opzione 4 descrive una situazione estrema non pertinente al campionamento con ripetizione.

False
False
False
True

Sia \(X \sim \text{Bin}(n, \pi)\), con \(n\) numero di prove e \(\pi \in (0,1)\) probabilità di successo in ciascuna prova. Qual è la funzione di massa di probabilità di \(X\)?

\(P(X = x) = \dbinom{n}{x} \pi^{x}(1-\pi)^{n-x}\), per \(x \in \{0, 1, \ldots, n\}\)\(P(X = x) = \dfrac{e^{-n\pi}\,(n\pi)^{x}}{x!}\), per \(x \in \{0, 1, 2, \ldots\}\)\(P(X = x) = \pi^{x}(1-\pi)^{n-x}\), per \(x \in \{0, 1, \ldots, n\}\)\(P(X = x) = \dbinom{n}{x} \pi^{x}(1-\pi)^{n-x}\), per \(x \in \{0, 1, 2, \ldots\}\)

La distribuzione binomiale conta il numero di successi in \(n\) prove di Bernoulli indipendenti, ciascuna con probabilità di successo \(\pi\). La funzione di massa è: \[P(X = x) = \binom{n}{x} \pi^{x}(1-\pi)^{n-x}, \quad x \in \{0, 1, \ldots, n\}.\] Il coefficiente binomiale \(\binom{n}{x}\) conta i modi in cui si possono disporre \(x\) successi in \(n\) prove; il supporto è limitato a \(\{0, \ldots, n\}\) perché non si possono avere più di \(n\) successi in \(n\) prove. L’opzione 2 usa la formula corretta ma con supporto illimitato, il che violerebbe la normalizzazione. L’opzione 3 omette il coefficiente binomiale, contando solo una specifica sequenza di \(x\) successi e \(n-x\) insuccessi. L’opzione 4 è la funzione di massa della distribuzione di Poisson con parametro \(\lambda = n\pi\).

True
False
False
False

Sia \(X \sim \text{Bin}(n, \pi)\). Qual è la coppia \(\bigl(\mathrm{E}[X],\, \mathrm{Var}(X)\bigr)\)?

\(\bigl(\pi,\; \pi(1-\pi)\bigr)\)\(\bigl(n\pi,\; n\pi^2\bigr)\)\(\bigl(n\pi,\; n^2\pi(1-\pi)\bigr)\)\(\bigl(n\pi,\; n\pi(1-\pi)\bigr)\)

La binomiale \(\text{Bin}(n,\pi)\) può essere vista come somma di \(n\) variabili di Bernoulli i.i.d., ciascuna con media \(\pi\) e varianza \(\pi(1-\pi)\). Per la linearità del valore atteso e per l’additività della varianza nel caso di variabili indipendenti: \[\mathrm{E}[X] = n\pi, \qquad \mathrm{Var}(X) = n\pi(1-\pi).\] L’opzione 2 sostituisce erroneamente \(\pi(1-\pi)\) con \(\pi^2\) nella varianza (errore tipico: dimenticare il fattore \((1-\pi)\)). L’opzione 3 riporta i momenti della singola Bernoulli, non della binomiale (manca il fattore \(n\)). L’opzione 4 usa \(n^2\) invece di \(n\) nella varianza: sarebbe corretto solo se le \(n\) Bernoulli fossero perfettamente correlate, non indipendenti.

False
False
False
True

Siano \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) variabili casuali (non necessariamente indipendenti) con \(\mathrm{E}[X_i] = \mu_i\), e siano \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) costanti reali. Qual è \(\mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]\)?

\(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i \mu_i\)\(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n \mu_i\right)\)\(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 \mu_i\)\(\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i \mu_i\)

Il valore atteso è un operatore lineare: si distribuisce sulla somma e porta fuori le costanti. Pertanto: \[\mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n a_i\, \mathrm{E}[X_i] = \sum_{i=1}^n a_i \mu_i.\] Questa proprietà vale per qualsiasi insieme di variabili casuali, indipendentemente dalla loro struttura di dipendenza. L’opzione 2 fattorizza erroneamente i due termini (confonde la linearità con una struttura moltiplicativa). L’opzione 3 eleva al quadrato i coefficienti, formula che compare invece nella varianza (non nel valore atteso) di una combinazione lineare. L’opzione 4 sostituisce la somma con un prodotto, il che non ha alcuna giustificazione teorica.

True
False
False
False

Siano \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) variabili casuali con \(\mathrm{Var}(X_i) = \sigma_i^2\) e costanti reali \(a_1, \ldots, a_n\). Quale delle seguenti espressioni fornisce la formula generale per \(\mathrm{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right)\), valida anche in presenza di dipendenza tra le variabili?

\(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2\, \sigma_i^2 \;+\; 2\sum_{i < j} a_i a_j\, \mathrm{Cov}(X_i, X_j)\)\(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\)\(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2\, \sigma_i^2\)\(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i\, \sigma_i^2\)

La formula generale per la varianza di una combinazione lineare è: \[\mathrm{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\sigma_i^2 + 2\sum_{i < j} a_i a_j\,\mathrm{Cov}(X_i, X_j).\] Il termine di covarianza non è trascurabile quando le variabili sono dipendenti. L’opzione 2 è la formula semplificata valida solo nel caso di variabili indipendenti (o non correlate), in cui tutte le covarianze sono nulle: è un caso particolare, non la formula generale. L’opzione 3 fattorizza scorrectamente i coefficienti e le varianze. L’opzione 4 dimentica di elevare i coefficienti al quadrato.

True
False
False
False

Siano \(X_1, \ldots, X_n\) variabili casuali i.i.d. con media \(\mu\) e varianza \(\sigma^2\). Si definisce la somma campionaria \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\). Qual è la coppia \(\bigl(\mathrm{E}[S_n],\, \mathrm{Var}(S_n)\bigr)\)?

\(\bigl(n\mu,\; \sigma^2/n\bigr)\)\(\bigl(n\mu,\; n^2\sigma^2\bigr)\)\(\bigl(n\mu,\; n\sigma^2\bigr)\)\(\bigl(\mu,\; \sigma^2\bigr)\)

Per la linearità del valore atteso e per l’additività della varianza nel caso i.i.d.: \[\mathrm{E}[S_n] = \sum_{i=1}^n \mathrm{E}[X_i] = n\mu, \qquad \mathrm{Var}(S_n) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) = n\sigma^2.\] L’opzione 2 riporta i momenti della singola \(X_i\), non della loro somma (manca il fattore \(n\)). L’opzione 3 usa \(n^2\) nella varianza: sarebbe il risultato se le \(X_i\) fossero identiche (perfettamente dipendenti), non indipendenti. L’opzione 4 divide per \(n\) invece di moltiplicare: è la varianza della media campionaria \(\bar{X}_n\), non della somma.

False
False
True
False

Siano \(X_1, \ldots, X_n\) variabili casuali i.i.d. con media \(\mu\) e varianza \(\sigma^2\). Si definisce la media campionaria \(\bar{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\). Qual è la coppia \(\bigl(\mathrm{E}[\bar{X}_n],\, \mathrm{Var}(\bar{X}_n)\bigr)\)?

\(\bigl(\mu/n,\; \sigma^2/n\bigr)\)\(\bigl(\mu,\; n\sigma^2\bigr)\)\(\bigl(\mu,\; \sigma^2/n\bigr)\)\(\bigl(\mu,\; \sigma^2\bigr)\)

La media campionaria è la somma \(S_n\) moltiplicata per la costante \(1/n\). Applicando le proprietà del valore atteso e della varianza per le trasformazioni lineari: \[\mathrm{E}[\bar{X}_n] = \frac{1}{n}\,\mathrm{E}[S_n] = \frac{n\mu}{n} = \mu,\] \[\mathrm{Var}(\bar{X}_n) = \frac{1}{n^2}\,\mathrm{Var}(S_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}.\] Il fatto che \(\mathrm{E}[\bar{X}_n] = \mu\) indica che la media campionaria è uno stimatore corretto di \(\mu\). La riduzione della varianza di un fattore \(n\) rispetto alla varianza della singola osservazione è il fondamento formale dell’idea intuitiva che “più dati si raccolgono, più la stima è precisa”. L’opzione 2 riporta la varianza della singola \(X_i\), dimenticando la divisione per \(n\). L’opzione 3 divide per \(n\) anche la media (errato). L’opzione 4 moltiplica per \(n\) la varianza: è la varianza della somma \(S_n\), non della media.

False
False
True
False

Siano \(X_1, \ldots, X_n\) variabili i.i.d. con \(X_i \sim \text{Bernoulli}(\pi)\). Si definisce la frequenza relativa campionaria \(F_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\). Qual è la coppia \(\bigl(\mathrm{E}[F_n],\, \mathrm{Var}(F_n)\bigr)\)?

\(\bigl(\pi,\; \pi(1-\pi)\bigr)\)\(\bigl(n\pi,\; \pi(1-\pi)/n\bigr)\)\(\bigl(\pi,\; \pi(1-\pi)/n\bigr)\)\(\bigl(\pi,\; n\pi(1-\pi)\bigr)\)

La somma \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Bin}(n,\pi)\) ha media \(n\pi\) e varianza \(n\pi(1-\pi)\). La frequenza relativa è \(F_n = S_n/n\), ovvero la media campionaria di variabili Bernoulli. Applicando le proprietà delle trasformazioni lineari: \[\mathrm{E}[F_n] = \frac{\mathrm{E}[S_n]}{n} = \frac{n\pi}{n} = \pi, \qquad \mathrm{Var}(F_n) = \frac{\mathrm{Var}(S_n)}{n^2} = \frac{n\pi(1-\pi)}{n^2} = \frac{\pi(1-\pi)}{n}.\] \(F_n\) è dunque uno stimatore corretto di \(\pi\), con varianza che si riduce all’aumentare di \(n\). L’opzione 2 riporta la varianza della singola Bernoulli, dimenticando la divisione per \(n\). L’opzione 3 riporta la media della somma \(S_n\) invece che di \(F_n\). L’opzione 4 moltiplica per \(n\) la varianza invece di dividere: è la varianza di \(S_n\), non di \(F_n\).

False
False
True
False

Come cambia la forma della distribuzione \(\text{Bin}(n, \pi)\) al variare di \(\pi\) e di \(n\)?

La distribuzione è simmetrica quando \(\pi = 0.5\), asimmetrica a destra quando \(\pi < 0.5\), asimmetrica a sinistra quando \(\pi > 0.5\); al crescere di \(n\) la forma si avvicina a quella di una distribuzione normale.La distribuzione è asimmetrica a destra per qualsiasi valore di \(\pi\); solo per \(n \to \infty\) diventa simmetrica attorno a \(\pi\).La distribuzione è simmetrica quando \(\pi = 0.5\) e rimane tale per qualsiasi \(n\); per \(\pi \neq 0.5\) l’asimmetria aumenta al crescere di \(n\).La distribuzione è sempre simmetrica indipendentemente da \(\pi\); al crescere di \(n\) diventa sempre più asimmetrica.

La distribuzione \(\text{Bin}(n,\pi)\) è simmetrica se e solo se \(\pi = 0.5\). Per \(\pi < 0.5\) i successi sono rari e la distribuzione ha una coda più lunga verso destra (asimmetria positiva); per \(\pi > 0.5\) accade il contrario (asimmetria negativa). Al crescere di \(n\), per qualsiasi valore fisso di \(\pi\), la distribuzione standardizzata si avvicina alla distribuzione normale: questo è il contenuto del Teorema del limite centrale, di cui si è visto un primo cenno grafico. L’opzione 2 nega l’asimmetria per \(\pi \neq 0.5\), che è evidente già per piccoli \(n\). L’opzione 3 afferma erroneamente che l’asimmetria aumenta con \(n\): è vero l’opposto, l’asimmetria relativa diminuisce. L’opzione 4 sostiene che la distribuzione sia sempre asimmetrica a destra, ignorando il caso \(\pi > 0.5\).

True
False
False
False