Esercizi autovalutazione settimana #03

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DGP bernoulliano, funzione di probabilità congiunta del campione e funzione di verosimiglianza

Quale delle seguenti affermazioni definisce correttamente una statistica campionaria?

Una funzione del campione casuale \((X_1, \ldots, X_n)\) che non dipende da parametri ignoti della popolazione.Un valore numerico fisso calcolato sull’intera popolazione, usato come termine di riferimento.Qualsiasi funzione del campione casuale \((X_1, \ldots, X_n)\), anche se dipende da parametri ignoti.Una funzione che trasforma il campione osservato in una variabile casuale con distribuzione nota.

Una statistica campionaria è una funzione del campione casuale \((X_1, \ldots, X_n)\) il cui valore può essere calcolato conoscendo solo i dati, senza richiedere la conoscenza di parametri ignoti della popolazione. Essendo funzione di variabili casuali, la statistica è essa stessa una variabile casuale. L’opzione 2 è quasi corretta nella prima parte, ma la dipendenza da parametri ignoti la renderebbe non calcolabile dai soli dati: per esempio \(X_i - \mu\) non è una statistica se \(\mu\) è ignoto. L’opzione 3 descrive un parametro della popolazione, non una statistica campionaria. L’opzione 4 inverte il rapporto: è il campione osservato a essere una realizzazione della statistica (variabile casuale), non il contrario.

• True
• False
• False
• False

Cosa si intende per distribuzione campionaria di una statistica \(T_n = T(X_1, \ldots, X_n)\)?

La distribuzione di \(T_n\) ottenuta raccogliendo le stime prodotte da diversi ricercatori sullo stesso fenomeno.La distribuzione della popolazione da cui proviene il campione, stimata a partire dai valori osservati.La distribuzione dei valori osservati nel campione estratto, ovvero l’istogramma dei dati \(x_1, \ldots, x_n\).La distribuzione di probabilità che \(T_n\) assume al variare di tutti i possibili campioni estraibili dalla popolazione secondo il disegno campionario adottato.

La distribuzione campionaria di \(T_n\) descrive come i valori di \(T_n\) variano al variare del campione estratto: è la distribuzione di probabilità della variabile casuale \(T_n\) indotta dal meccanismo di campionamento e dalla distribuzione della popolazione. Costituisce il fondamento teorico per valutare le proprietà degli stimatori (correttezza, efficienza) e per costruire test e intervalli di confidenza. L’opzione 2 descrive la distribuzione empirica dei dati osservati in un singolo campione, non la distribuzione campionaria della statistica. L’opzione 3 descrive la stima della distribuzione della popolazione (ad es. tramite KDE o ECDF). L’opzione 4 descrive un concetto informale legato alla variabilità tra ricercatori, non la distribuzione campionaria in senso probabilistico.

• False
• False
• False
• True

Il teorema di De Moivre-Laplace stabilisce che, per \(X \sim \text{Bin}(n, \pi)\) con \(n\) grande, la variabile standardizzata \[Z_n = \frac{X - n\pi}{\sqrt{n\pi(1-\pi)}}\] converge in distribuzione alla normale standard \(\mathcal{N}(0,1)\). Quale delle seguenti affermazioni sull’approssimazione è corretta?

L’approssimazione è tanto migliore quanto più \(\pi\) è vicino a \(0\) o a \(1\), indipendentemente da \(n\).L’approssimazione è tanto migliore quanto più grande è \(n\) e quanto più \(\pi\) è vicino a \(0.5\).L’approssimazione vale solo per \(\pi = 0.5\), perché la binomiale è simmetrica solo in quel caso.L’approssimazione migliora al crescere di \(n\) indipendentemente da \(\pi\), ma peggiora se \(\pi\) si avvicina a \(0.5\).

Il teorema di De Moivre-Laplace è un caso particolare del Teorema del limite centrale. La qualità dell’approssimazione dipende da due fattori: la numerosità \(n\) (più è grande, meglio funziona) e il valore di \(\pi\) (più è lontano dagli estremi 0 e 1, cioè più è vicino a \(0.5\), meglio funziona, perché la distribuzione binomiale è meno asimmetrica). Per \(\pi\) vicino a 0 o 1 la binomiale è molto asimmetrica e l’approssimazione normale richiede \(n\) molto più grandi. L’opzione 2 inverte il ruolo di \(\pi\): i valori estremi rendono l’approssimazione peggiore, non migliore. L’opzione 3 è troppo restrittiva: il teorema vale per qualsiasi \(\pi \in (0,1)\), purché \(n\) sia sufficientemente grande. L’opzione 4 inverte il ruolo di \(\pi\): \(\pi = 0.5\) è il caso più favorevole, non il più sfavorevole.

• False
• True
• False
• False

La funzione di probabilità congiunta di un campione casuale \((X_1, \ldots, X_n)\) può essere letta in due ottiche distinte. Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente la differenza tra ottica probabilistica e ottica inferenziale?

In ottica probabilistica il campione è fisso e si studia la variabilità di \(\pi\); in ottica inferenziale \(\pi\) è fisso e si studiano le probabilità dei diversi campioni.In ottica probabilistica il parametro \(\pi\) è fisso e la funzione descrive le probabilità dei possibili campioni; in ottica inferenziale il campione osservato è fisso e la funzione esprime come la plausibilità dei dati varia al variare di \(\pi\).In ottica probabilistica si usano distribuzioni a priori su \(\pi\); in ottica inferenziale si assume \(\pi\) completamente ignoto e privo di distribuzione.Le due ottiche sono equivalenti e producono sempre le stesse conclusioni numeriche, cambia solo la notazione utilizzata.

La stessa espressione matematica \(\prod_{i=1}^n f(x_i; \pi)\) può essere interpretata in due modi. In ottica probabilistica, \(\pi\) è un valore fisso e noto: la funzione assegna una probabilità a ciascun possibile campione, consentendo di rispondere a domande del tipo “quanto è probabile osservare questo campione?”. In ottica inferenziale, il campione osservato \((x_1,\ldots,x_n)\) è fisso e \(\pi\) diventa l’argomento variabile: la funzione, ora chiamata funzione di verosimiglianza, misura la plausibilità relativa dei diversi valori di \(\pi\) alla luce dei dati osservati. L’opzione 2 inverte i ruoli dei due oggetti. L’opzione 3 è errata: le due ottiche non sono equivalenti, cambiano oggetto di interesse e conclusioni. L’opzione 4 descrive la distinzione tra approccio bayesiano e frequentista, non tra ottica probabilistica e inferenziale.

• False
• True
• False
• False

Sia \((X_1, \ldots, X_n)\) un campione casuale i.i.d. da un DGP bernoulliano con parametro \(\pi \in (0,1)\). Qual è la funzione di probabilità congiunta del campione, valutata in una specifica realizzazione \((x_1, \ldots, x_n)\) con \(x_i \in \{0,1\}\)?

\(\displaystyle P(X_1=x_1, \ldots, X_n=x_n;\, \pi) = \binom{n}{\sum x_i}\pi^{\sum_{i=1}^n x_i}(1-\pi)^{n - \sum_{i=1}^n x_i}\)\(\displaystyle P(X_1=x_1, \ldots, X_n=x_n;\, \pi) = \pi^{\sum_{i=1}^n x_i}(1-\pi)^{n - \sum_{i=1}^n x_i}\)\(\displaystyle P(X_1=x_1, \ldots, X_n=x_n;\, \pi) = \pi^n (1-\pi)^n\)\(\displaystyle P(X_1=x_1, \ldots, X_n=x_n;\, \pi) = \sum_{i=1}^n \pi^{x_i}(1-\pi)^{1-x_i}\)

Poiché le \(X_i\) sono indipendenti, la probabilità congiunta è il prodotto delle probabilità marginali: \[P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n;\,\pi) = \prod_{i=1}^n \pi^{x_i}(1-\pi)^{1-x_i} = \pi^{\sum x_i}(1-\pi)^{n-\sum x_i}.\] Il campione congiunto registra quale unità ha dato successo e quale insuccesso, quindi l’ordine conta: non compare il coefficiente binomiale. L’opzione 2 include il coefficiente \(\binom{n}{\sum x_i}\), che compare nella binomiale quando si conta solo il numero di successi senza tener traccia di quali unità li hanno prodotti: quella è la distribuzione di \(S_n = \sum X_i\), non del campione congiunto. L’opzione 3 usa la somma invece del prodotto: la probabilità congiunta di eventi indipendenti è un prodotto, non una somma. L’opzione 4 ignora i valori osservati \(x_i\) e non dipende dalla realizzazione specifica del campione.

• False
• True
• False
• False

Dato un campione osservato \((x_1, \ldots, x_n)\) e un modello statistico con parametro \(\pi\), come si definisce la funzione di verosimiglianza \(L(\pi)\)?

\(L(\pi) = P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n;\, \hat\pi)\), ovvero la probabilità congiunta valutata nello stimatore di massima verosimiglianza \(\hat\pi\).\(L(\pi) = P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n;\, \pi)\), ovvero la funzione di probabilità congiunta del campione valutata nei dati osservati, considerata come funzione di \(\pi\).\(L(\pi) = \sum_{i=1}^n \log P(X_i = x_i;\, \pi)\), ovvero la somma dei logaritmi delle probabilità marginali delle singole osservazioni.\(L(\pi) = P(\pi \mid x_1, \ldots, x_n)\), ovvero la probabilità a posteriori del parametro \(\pi\) dati i valori osservati.

La funzione di verosimiglianza si ottiene prendendo la funzione di probabilità congiunta del campione \(P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n;\,\pi)\) e considerandola come funzione del parametro \(\pi\), a campione osservato fisso. Non è una probabilità su \(\pi\): i valori di \(L(\pi)\) non sommano a 1 e non rappresentano gradi di credenza sul parametro. L’opzione 2 descrive la distribuzione a posteriori dell’approccio bayesiano, che richiede anche una distribuzione a priori su \(\pi\). L’opzione 3 descrive la log-verosimiglianza \(\ell(\pi)\), che è il logaritmo di \(L(\pi)\): è una trasformazione monotona della verosimiglianza, non la sua definizione. L’opzione 4 è un valore scalare (la verosimiglianza massimizzata), non una funzione di \(\pi\).

• False
• True
• False
• False

Sia \((x_1, \ldots, x_n)\) un campione osservato da un DGP bernoulliano con parametro ignoto \(\pi\). Qual è lo stimatore di massima verosimiglianza \(\hat{\pi}_{MV}\)?

\(\hat{\pi}_{MV} = \dfrac{1}{n+2}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i + 1\right)\), ovvero la frequenza relativa corretta con uno stimatore di Laplace.\(\hat{\pi}_{MV} = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\), ovvero il numero assoluto di successi nel campione.\(\hat{\pi}_{MV} = \dfrac{1}{2}\), perché in assenza di informazioni aggiuntive il valore più plausibile è quello centrale.\(\hat{\pi}_{MV} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\), ovvero la frequenza relativa dei successi nel campione.

La log-verosimiglianza per il modello bernoulliano è: \[\ell(\pi) = \left(\sum_{i=1}^n x_i\right) \log \pi + \left(n - \sum_{i=1}^n x_i\right) \log(1-\pi).\] Derivando rispetto a \(\pi\), uguagliando a zero e verificando che sia un massimo, si ottiene: \[\hat{\pi}_{MV} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \bar{x}_n,\] ossia la frequenza relativa (proporzione campionaria) dei successi. L’opzione 2 è lo stimatore di Bayes-Laplace (con priori uniforme), che aggiunge un successo e un insuccesso artificiali per regolarizzare la stima: ha motivazioni diverse e non coincide con il MV. L’opzione 3 è la somma dei successi, non la proporzione: non è un valore in \((0,1)\) e non può essere un parametro di Bernoulli. L’opzione 4 è un valore fisso che non dipende dai dati: non è uno stimatore.

• False
• False
• False
• True

Si consideri la funzione di verosimiglianza \(L(\pi)\) per un modello bernoulliano, calcolata su campioni con la stessa proporzione osservata di successi \(\bar{x}_n\) ma con numerosità \(n\) crescente. Cosa accade alla forma di \(L(\pi)\) all’aumentare di \(n\)?

La forma della funzione di verosimiglianza non cambia con \(n\): dipende solo dal valore di \(\bar{x}_n\).La funzione di verosimiglianza si appiattisce progressivamente, diventando più diffusa attorno al massimo all’aumentare di \(n\).La funzione di verosimiglianza diventa sempre più concentrata attorno al valore \(\hat{\pi}_{MV} = \bar{x}_n\), indicando che i dati sono sempre più informativi sul parametro.La posizione del massimo si sposta verso \(0.5\) all’aumentare di \(n\), indipendentemente dal valore di \(\bar{x}_n\).

Con numerosità crescente (a parità di \(\bar{x}_n\)) la funzione di verosimiglianza si concentra sempre di più attorno a \(\hat{\pi}_{MV} = \bar{x}_n\): il picco diventa più alto e stretto, e i valori di \(\pi\) lontani dalla stima diventano progressivamente meno plausibili. Questo riflette il fatto che un campione più grande fornisce più informazione sul parametro, riducendo l’incertezza sulla stima. L’opzione 2 descrive l’effetto opposto: all’aumentare di \(n\) la verosimiglianza non si appiattisce ma si concentra. L’opzione 3 è errata: il massimo rimane sempre in \(\bar{x}_n\), che per ipotesi non varia. L’opzione 4 è errata perché ignora il ruolo di \(n\): a parità di \(\bar{x}_n\), \(n=10\) e \(n=1000\) producono funzioni di verosimiglianza molto diverse in termini di concentrazione.

• False
• False
• True
• False

In R, la funzione map() del pacchetto purrr viene usata per applicare una funzione a ciascun elemento di una lista o di un vettore. Quale delle seguenti affermazioni ne descrive correttamente il comportamento?

map(.x, .f) è equivalente a un ciclo for solo se .x è un vettore numerico; per le liste occorre usare lapply().map(.x, .f) applica la funzione .f all’intera struttura .x in un’unica chiamata, senza iterare sui singoli elementi.map(.x, .f) applica la funzione .f a ciascun elemento di .x e restituisce un vettore numerico, semplificando automaticamente il tipo di output.map(.x, .f) applica la funzione .f a ciascun elemento di .x e restituisce sempre una lista con tanti elementi quanti sono quelli di .x.

map(.x, .f) itera su ciascun elemento di .x, applica .f e raccoglie i risultati in una lista, indipendentemente dal tipo di output di .f. Questo comportamento è prevedibile e coerente. Quando si vuole un output di tipo specifico si usano le varianti tipizzate: map_dbl() per vettori numerici doppi, map_int() per interi, map_lgl() per logici, map_chr() per caratteri, ecc. L’opzione 2 descrive il comportamento di sapply() del R base, che tenta una semplificazione automatica del tipo di ritorno (comportamento a volte imprevedibile). L’opzione 3 descrive una chiamata diretta della funzione su tutta la struttura, non un’iterazione. L’opzione 4 è errata: map() funziona su qualsiasi lista o vettore, esattamente come lapply() di R base, da cui si distingue per la coerenza dell’output e l’integrazione con il resto di purrr.

• False
• False
• False
• True