I test di intelligenza standardizzati hanno convenzionalmente media \(\mu = 100\) e deviazione standard \(\sigma = 15\). Un bambino ottiene un punteggio di 70. Quale affermazione descrive correttamente la posizione di questo punteggio?
\(z = (70 - 100)/15 = -30/15 = \mathbf{-2}\). Il punteggio si trova quindi a 2 deviazioni standard sotto la media. In ambito clinico, un punteggio di QI \(\leq 70\) (\(z \leq -2\)) corrisponde convenzionalmente alla soglia diagnostica per la disabilità intellettiva: la standardizzazione rende quindi questo criterio indipendente dalla scala specifica usata. Il valore \(z = +2\) sarebbe corretto per un punteggio di 130, non 70. Il valore \(z = -30\) confonde la differenza grezza con il punteggio \(z\). Il confronto con 50 non ha significato su questa scala.
Uno psicologo somministra due test diversi allo stesso paziente. Al Test A (media \(\mu = 60\), \(\sigma = 10\)) il paziente ottiene 75. Al Test B (media \(\mu = 500\), \(\sigma = 100\)) ottiene 650. In quale test il paziente ha ottenuto una prestazione relativamente migliore rispetto al gruppo di riferimento?
Per confrontare prestazioni su scale diverse occorre calcolare i punteggi \(z\). Test A: \(z = (75 - 60)/10 = 1.5\). Test B: \(z = (650 - 500)/100 = 1.5\). I due \(z\) sono identici: in entrambi i test il paziente si trova a 1.5 deviazioni standard sopra la media del rispettivo gruppo di riferimento. La prestazione relativa è quindi equivalente. Confrontare i punteggi grezzi (75 vs 650) o le differenze grezze (15 vs 150) è fuorviante perché le due scale sono diverse: è esattamente questo il problema che la standardizzazione risolve.
Un test di intelligenza ha media \(\mu = 100\) e deviazione standard \(\sigma = 15\). Uno studente ottiene un punteggio di 130. Qual è il suo punteggio \(z\)?
Il punteggio \(z\) si calcola sottraendo la media al punteggio grezzo e dividendo per la deviazione standard: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{130 - 100}{15} = \frac{30}{15} = \mathbf{2}\). Indica che il punteggio si trova a 2 deviazioni standard sopra la media. Il valore 30 è solo la differenza grezza \(x - \mu\), prima della divisione per \(\sigma\). Il valore 0.23 si ottiene invertendo la formula: \(15/130 \approx 0.23\), senza senso statistico. Il valore \(-2\) avrebbe senso se il punteggio fosse inferiore alla media (es. 70), non superiore.
Un ricercatore standardizza i punteggi di un questionario di depressione che presenta una distribuzione asimmetrica positiva (\(g_1 = 1.2\)). Dopo la standardizzazione, come sarà la distribuzione dei punteggi \(z\)?
La standardizzazione è una trasformazione lineare (\(z = (x-\mu)/\sigma\)): sottrae una costante e divide per una costante. Le trasformazioni lineari modificano media e deviazione standard ma lasciano invariate la forma della distribuzione, l'asimmetria e la curtosi. Quindi la distribuzione dei punteggi \(z\) sarà ancora asimmetrica positiva con lo stesso valore \(g_1 = 1.2\). Per ottenere una distribuzione normale partendo da una distribuzione asimmetrica occorrerebbero trasformazioni non lineari (es. trasformazione logaritmica). La standardizzazione da sola non è sufficiente.
Un test di memoria ha media \(\mu = 50\) e deviazione standard \(\sigma = 10\). Uno studente ha ottenuto un punteggio \(z = -1.5\). Qual è il suo punteggio grezzo corrispondente?
Per risalire al punteggio grezzo si inverte la formula dello \(z\)-score: \(x = \mu + z \cdot \sigma = 50 + (-1.5) \cdot 10 = 50 - 15 = \mathbf{35}\). Il valore 65 si otterrebbe usando \(z = +1.5\) invece di \(-1.5\): è il punteggio dello studente speculare, dalla parte opposta della distribuzione. Il valore 15 è solo il termine \(|z| \cdot \sigma = 1.5 \times 10\), dimenticando di sottrarlo dalla media. Il valore 48.5 deriva dall'errore di sommare \(z\) direttamente a \(\mu\) senza moltiplicare per \(\sigma\): \(50 + (-1.5) = 48.5\).
Uno psicologo somministra a un paziente tre prove neuropsicologiche con scale diverse. I risultati sono i seguenti:
| Prova | Punteggio paziente | Media normativa | DS normativa |
|---|---|---|---|
| Memoria verbale | 22 | 25 | 5 |
| Attenzione | 80 | 100 | 10 |
| Funzioni esecutive | 38 | 40 | 4 |
Quale prova mostra il deficit più grave in termini relativi?
Per confrontare prestazioni su scale diverse occorre calcolare i punteggi \(z\) per ciascuna prova. Memoria verbale: \(z = (22-25)/5 = -0.6\). Attenzione: \(z = (80-100)/10 = \mathbf{-2.0}\). Funzioni esecutive: \(z = (38-40)/4 = -0.5\). Il deficit più grave è quello dell'attenzione, con un punteggio \(z = -2.0\) che colloca il paziente a 2 deviazioni standard sotto la media normativa. Questo esempio mostra l'utilità pratica della standardizzazione in neuropsicologia: confrontare direttamente i punteggi grezzi (22, 80, 38) sarebbe fuorviante perché le scale hanno unità di misura diverse.
Un ricercatore standardizza i punteggi di un test di ansia (media originale \(\mu = 40\), deviazione standard \(\sigma = 8\)) trasformandoli in punteggi \(z\). Quali saranno la media e la deviazione standard della distribuzione dei punteggi \(z\)?
La standardizzazione trasforma qualunque distribuzione in una distribuzione con media uguale a 0 e deviazione standard uguale a 1. Questo è una conseguenza diretta della formula \(z = (x-\mu)/\sigma\): sottrarre \(\mu\) da tutti i valori porta la media a zero, mentre dividere per \(\sigma\) porta la deviazione standard a 1. La forma della distribuzione rimane invariata: la standardizzazione è una trasformazione lineare che non altera asimmetria né curtosi. Le altre opzioni confondono i parametri originali con quelli della distribuzione trasformata.
Molti test psicologici (come le scale cliniche del MMPI) riportano i risultati in punteggi T, ottenuti trasformando i punteggi \(z\) con la formula \(T = 50 + 10 \cdot z\). Se un paziente ottiene \(z = 1.8\) su una scala di psicopatologia, qual è il suo punteggio T e come si interpreta?
Applicando la formula: \(T = 50 + 10 \cdot 1.8 = 50 + 18 = \mathbf{68}\). I punteggi T sono una trasformazione lineare dei punteggi \(z\) che li riporta a una scala con media 50 e deviazione standard 10, evitando i valori negativi e decimali dei punteggi \(z\) grezzi. Nel MMPI, un punteggio \(T \geq 65\) è considerato clinicamente elevato. Il valore 1.8 confonde \(z\) e \(T\). Il valore 180 moltiplica per 100 invece di 10. Il valore 51.8 somma \(z\) alla media senza moltiplicare per 10, confondendo la formula del punteggio T con quella dello scarto dalla media.