In una clinica psicologica, la probabilità che un paziente abbia un disturbo d'ansia è \(P(A) = 0.35\). Qual è la probabilità che un paziente scelto a caso non abbia un disturbo d'ansia?
Il teorema della probabilità della negazione discende direttamente dal secondo e terzo assioma: poiché \(A\) e \(A^c\) sono incompatibili ed esaustivi (\(A \cup A^c = \Omega\)), si ha \(P(A) + P(A^c) = P(\Omega) = 1\), quindi \(P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.35 = \mathbf{0.65}\). Il complementare non ha la stessa probabilità dell'evento originale, salvo nel caso degenere \(P(A) = 0.5\). Il complementare di un evento con probabilità positiva non è mai impossibile (a meno che \(P(A) = 1\)). Il teorema vale indipendentemente dalla numerosità: è una proprietà della misura di probabilità, non dei conteggi.
In uno studio epidemiologico, la probabilità di avere depressione è \(P(D) = 0.20\), la probabilità di avere un disturbo d'ansia è \(P(A) = 0.15\), e la probabilità di avere entrambi i disturbi è \(P(D \cap A) = 0.08\). Qual è la probabilità di avere depressione o disturbo d'ansia (o entrambi)?
La formula generale della probabilità dell'unione è: \(P(D \cup A) = P(D) + P(A) - P(D \cap A) = 0.20 + 0.15 - 0.08 = \mathbf{0.27}\). Il termine \(P(D \cap A)\) viene sottratto perché, sommando \(P(D)\) e \(P(A)\), i casi in cui si verificano entrambi i disturbi vengono contati due volte: la sottrazione corregge questo doppio conteggio. Il valore 0.35 è l'errore di sommare le probabilità senza sottrarre l'intersezione: vale solo se \(D\) e \(A\) sono incompatibili (qui non lo sono). Il valore 0.08 è la probabilità dell'intersezione, non dell'unione. Il valore 0.03 non ha base statistica.
In un campione di 200 studenti universitari, 80 presentano sintomi d'ansia (\(A\)) e 60 hanno una storia familiare di disturbi psicologici (\(F\)). Di questi ultimi, 36 presentano anche sintomi d'ansia. Qual è la probabilità condizionata \(P(A \mid F)\), cioè la probabilità di avere sintomi d'ansia dato che si ha una storia familiare?
La probabilità condizionata di \(A\) dato \(F\) è definita come: \(P(A \mid F) = \frac{P(A \cap F)}{P(F)}\), valida per \(P(F) > 0\). In questo caso: \(P(A \cap F) = 36/200 = 0.18\) e \(P(F) = 60/200 = 0.30\), quindi \(P(A \mid F) = 0.18/0.30 = \mathbf{0.60}\). In modo equivalente: tra i 60 studenti con storia familiare, 36 hanno ansia, quindi \(36/60 = 0.60\). Il valore 0.40 è la probabilità marginale \(P(A)\): usarla al posto di \(P(A \mid F)\) significherebbe ignorare l'informazione aggiuntiva su \(F\). Il valore 0.18 è \(P(A \cap F)\): confonde probabilità congiunta e condizionata. Il valore 0.30 è \(P(F)\): confonde il condizionante con il condizionato.
In uno studio, \(P(\text{disturbo d'ansia}) = P(A) = 0.20\), \(P(\text{genere femminile}) = P(F) = 0.50\) e \(P(A \cap F) = 0.10\). I due eventi \(A\) e \(F\) sono indipendenti?
Due eventi sono statisticamente indipendenti se e solo se \(P(A \cap F) = P(A) \cdot P(F)\). Verifica: \(P(A) \cdot P(F) = 0.20 \times 0.50 = 0.10 = P(A \cap F)\) ✓. La condizione è soddisfatta. In modo equivalente: \(P(A \mid F) = 0.10/0.50 = 0.20 = P(A)\): sapere che il soggetto è femmina non modifica la probabilità di avere ansia. L'indipendenza è una proprietà probabilistica, non logica: non dipende dal tipo di caratteristiche misurate. Il distrattore più insidioso è il quarto: confonde indipendenza con incompatibilità. \(P(A \cap F) = 0\) caratterizza eventi incompatibili, non indipendenti. Anzi, due eventi incompatibili con probabilità positive sono sempre dipendenti.
La probabilità che uno studente abbia un disturbo d'ansia è \(P(A) = 0.20\). Dato che ha un disturbo d'ansia, la probabilità che abbia anche insonnia è \(P(I \mid A) = 0.45\). Qual è la probabilità che uno studente abbia sia disturbo d'ansia sia insonnia?
La regola della moltiplicazione afferma che per qualsiasi coppia di eventi: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)\). Questa formula discende direttamente dalla definizione di probabilità condizionata, riarrangiata come: \(P(B \mid A) = P(A \cap B)/P(A) \Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)\). Applicandola: \(P(A \cap I) = 0.20 \times 0.45 = \mathbf{0.09}\). Il valore 0.65 è la somma: pertinente per l'unione di eventi incompatibili, non per l'intersezione. Il valore 0.25 è la media aritmetica: non ha alcun fondamento probabilistico. Il valore 0.20 è la sola \(P(A)\): ignora la componente condizionata. Nota: se i due eventi fossero indipendenti si userebbe \(P(A) \cdot P(I)\); qui invece si usa la probabilità condizionata \(P(I \mid A)\) perché i due eventi sono dipendenti.
In una clinica, il 40% dei pazienti ha un disturbo d'ansia (\(H_1\)) e il 60% non ce l'ha (\(H_2\)). La probabilità di richiedere un consulto psichiatrico è \(P(C \mid H_1) = 0.70\) tra chi ha ansia, e \(P(C \mid H_2) = 0.20\) tra chi non ce l'ha. Qual è la probabilità totale che un paziente scelto a caso richieda un consulto, \(P(C)\)?
Il teorema delle probabilità totali (fattorizzazione) afferma che, se \(H_1, \ldots, H_k\) formano una partizione di \(\Omega\): \(P(C) = \sum_{j} P(H_j) \cdot P(C \mid H_j)\). Applicando: \(P(C) = 0.40 \times 0.70 + 0.60 \times 0.20 = 0.28 + 0.12 = \mathbf{0.40}\). Il teorema "scompone" la probabilità totale di \(C\) come media ponderata delle probabilità condizionate, dove i pesi sono le probabilità delle partizioni. Il valore 0.45 usa pesi uguali \(1/2\) invece di 0.40 e 0.60: errore tipico di chi ignora l'importanza delle probabilità a priori. Il valore 0.70 ignora completamente il secondo gruppo. Il valore 0.14 mescola gli indici delle partizioni con quelli delle probabilità condizionate.
Un'urna contiene 5 palline rosse e 3 blu (8 in totale). Si estraggono 2 palline senza rimessa. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa, dato che la prima era rossa?
Senza rimessa, l'esito della prima estrazione modifica la composizione dell'urna: dopo aver estratto una pallina rossa, nell'urna rimangono \(5-1=4\) palline rosse e 3 blu, per un totale di 7. Quindi \(P(R_2 \mid R_1) = 4/7 \approx 0.571\). Il valore 5/8 è la probabilità marginale della prima estrazione \(P(R_1)\): ignorare l'esito della prima estrazione equivale a fare calcoli con rimessa, non senza. Il valore 5/7 è l'errore di non decrementare le palline rosse: si riduce il totale a 7 ma si dimentica che è stata rimossa una rossa. Il valore 4/8 non decrementa il totale: ignora che una pallina è stata tolta dall'urna.
Un ricercatore estrae un campione di \(n = 50\) studenti da una popolazione di 10.000. Un collega obietta: "Bisognerebbe estrarre con rimessa per garantire l'indipendenza delle osservazioni." Un altro collega risponde: "Con una popolazione così grande, estrarre senza rimessa è praticamente equivalente a estrarre con rimessa." Chi ha ragione, e perché?
Il secondo collega ha ragione. Con estrazione senza rimessa le osservazioni non sono rigorosamente indipendenti, ma con una popolazione grande la modifica alla distribuzione dopo ogni prelievo è praticamente irrilevante. Formalmente, se la popolazione ha dimensione \(N\) e il campione ha dimensione \(n\), l'approssimazione è ottima quando \(n/N \ll 1\) (regola pratica: \(n/N \leq 0.05\)). Qui \(n/N = 50/10000 = 0.005\): la frazione di campionamento è dello 0.5%, rendendo le estrazioni praticamente indipendenti. Questo giustifica il trattamento del campionamento casuale semplice come se fosse con rimessa, fondando l'ipotesi iid delle osservazioni campionarie. La pari o disprità di \(n\) non ha alcuna rilevanza.
La prevalenza di un disturbo specifico di apprendimento (DSA) nei bambini è \(P(DSA) = 0.10\). Un test di screening ha sensibilità \(P(T^+ \mid DSA) = 0.90\) e specificità \(P(T^- \mid \overline{DSA}) = 0.80\), quindi \(P(T^+ \mid \overline{DSA}) = 0.20\). Un bambino risulta positivo al test. Qual è la probabilità che abbia davvero un DSA, \(P(DSA \mid T^+)\)?
Il teorema di Bayes aggiorna la probabilità a priori alla luce dell'esito del test: \(P(DSA \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid DSA) \cdot P(DSA)}{P(T^+)}\). Prima si calcola \(P(T^+)\) con il teorema delle probabilità totali: \(P(T^+) = P(T^+ \mid DSA) \cdot P(DSA) + P(T^+ \mid \overline{DSA}) \cdot P(\overline{DSA}) = 0.90 \times 0.10 + 0.20 \times 0.90 = 0.09 + 0.18 = 0.27\). Quindi: \(P(DSA \mid T^+) = 0.09 / 0.27 = \mathbf{0.333}\). Nonostante la buona sensibilità, solo 1 bambino su 3 positivi ha davvero il DSA: l'effetto della bassa prevalenza è determinante. Il valore 0.90 confonde sensibilità con valore predittivo positivo. Il valore 0.10 ignora l'informazione del test. Il valore 0.80 confonde specificità con valore predittivo positivo.
Un questionario per il rilevamento della depressione viene somministrato a 1000 persone. Dalla tabella dei risultati: 150 persone hanno la depressione e 850 no. Tra i depressi, 120 risultano positivi al test; tra i non depressi, 170 risultano positivi. Quale delle seguenti affermazioni calcola correttamente sensibilità e specificità?
La sensibilità è la probabilità che il test sia positivo dato che la malattia è presente: \(P(T^+ \mid M^+) = 120/150 = \mathbf{0.80}\). La specificità è la probabilità che il test sia negativo dato che la malattia è assente: \(P(T^- \mid M^-) = (850-170)/850 = 680/850 = \mathbf{0.80}\). La seconda opzione calcola il valore predittivo positivo (\(120/290\)) e il valore predittivo negativo (\(680/710\)): indici importanti ma diversi da sensibilità e specificità. La terza opzione calcola la prevalenza nei due gruppi, non le caratteristiche del test. La quarta opzione mescola i denominatori, producendo persino un valore \(> 1\).
Uno psicologo usa un test per lo screening del PTSD. Il test ha alta sensibilità (0.95) ma specificità moderata (0.70). In una popolazione di veterani con alta prevalenza di PTSD (40%), quali conseguenze pratiche ci si può aspettare?
La specificità di 0.70 significa che il 30% delle persone sane risulterà erroneamente positivo (falsi positivi): \(P(T^+ \mid \overline{PTSD}) = 1 - \text{specificità} = 0.30\). Con il 60% della popolazione sana (prevalenza 40% → 60% senza PTSD), ci saranno molti falsi positivi in termini assoluti. Al contrario, l'alta sensibilità (0.95) garantisce pochi falsi negativi: \(P(T^- \mid PTSD) = 1 - 0.95 = 0.05\). La sensibilità e la specificità descrivono errori di tipo opposto: sensibilità bassa → falsi negativi; specificità bassa → falsi positivi. In contesti di screening si privilegia generalmente l'alta sensibilità per non perdere i casi, accettando più falsi positivi da verificare con test secondari.
In uno studio sul supporto sociale, si chiede a ciascun partecipante di indicare quante delle 5 persone più vicine a lui lo hanno contattato nell'ultima settimana. Sia \(X\) il numero di contatti ricevuti. Perché \(X\) è una variabile casuale discreta?
Una variabile casuale è una funzione che associa un numero reale a ogni esito di un esperimento casuale: prima dell'osservazione il suo valore è incerto. È discreta se può assumere valori in un insieme finito o infinito numerabile. \(X\) conta un numero intero di contatti: può valere 0, 1, 2, 3, 4 o 5, e non può assumere valori come 2.7 o \(\pi\). La variabilità tra persone è una conseguenza del fatto che \(X\) è una variabile casuale, non la sua definizione. Il fatto di essere misurata su un campione non ha relazione con il tipo di variabile casuale. La distribuzione uniforme è un modello specifico: la discrezionalità di \(X\) non implica affatto l'equiprobabilità dei suoi valori.
La funzione massa di probabilità di una variabile casuale discreta \(X\) è definita dalla tabella seguente:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | 0.10 | 0.30 | \(p\) | 0.25 |
Qual è il valore di \(p\) che rende questa una distribuzione di probabilità valida?
Una distribuzione di probabilità valida deve soddisfare due condizioni: (1) \(P(X=x) \geq 0\) per ogni \(x\); (2) \(\sum_x P(X=x) = 1\). Dalla seconda condizione: \(0.10 + 0.30 + p + 0.25 = 1 \Rightarrow p = 1 - 0.65 = \mathbf{0.35}\). Il valore 0.25 per simmetria è un ragionamento non valido: la distribuzione non deve essere simmetrica. Il valore 0.65 è la somma delle probabilità degli altri tre valori: è esattamente \(1-p\), non \(p\). Il fatto che \(p\) debba essere tra 0 e 1 è necessario ma non sufficiente: c'è un unico valore di \(p\) compatibile con la normalizzazione.
In un esperimento di psicologia sociale, a un partecipante viene mostrato un numero a caso tra 1 e 6 (estremi inclusi), generato da un dado equo. Sia \(X\) il numero mostrato. Qual è la probabilità \(P(X \geq 5)\)?
\(X\) segue una distribuzione uniforme discreta su \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\): ogni valore ha probabilità \(1/6\). L'evento \(X \geq 5\) include i valori \(\{5, 6\}\), cioè 2 valori favorevoli su 6 possibili. Per il terzo assioma (additività per eventi incompatibili): \(P(X \geq 5) = P(X=5) + P(X=6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = \mathbf{1/3}\). Il valore 5/6 è \(P(X \geq 2)\): conta 5 valori invece di 2. Il valore 1/6 è la probabilità di un singolo valore: \(P(X=5)\) oppure \(P(X=6)\), non la loro somma. Il valore 1/2 non corrisponde ad alcun sottoinsieme corretto di valori.
Uno psicologo somministra un test di screening per la depressione a un singolo paziente. Il test può dare esito positivo (1) con probabilità \(p = 0.30\) o negativo (0) con probabilità \(1-p = 0.70\). Sia \(X\) il risultato del test. Qual è la varianza di \(X\)?
\(X\) segue una distribuzione di Bernoulli con parametro \(p = 0.30\): assume valore 1 con probabilità \(p\) e valore 0 con probabilità \(1-p\). Le sue proprietà sono: \(E(X) = p = 0.30\) e \(\text{Var}(X) = p(1-p) = 0.30 \times 0.70 = \mathbf{0.21}\). La varianza è massima quando \(p = 0.5\) (massima incertezza) e si annulla quando \(p = 0\) o \(p = 1\) (nessuna incertezza). Media e varianza coincidono solo nella distribuzione di Poisson, non nella Bernoulli: il valore 0.30 è \(E(X)\), non \(\text{Var}(X)\). Il valore 0.09 è \(p^2\): errore nel calcolo di \(\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1-p)\). Il valore 0.70 è \(1-p\), cioè la probabilità del risultato negativo.
Uno psicologo somministra un test di screening per il disturbo da deficit di attenzione a 10 bambini scelti casualmente in una scuola. La probabilità che ciascun bambino risulti positivo è \(p = 0.15\), indipendentemente dagli altri. Sia \(X\) il numero di bambini positivi. Quali condizioni rendono \(X\) una variabile casuale binomiale?
La distribuzione binomiale \(B(n, p)\) si applica quando sono soddisfatte quattro condizioni: (1) numero fisso di prove \(n\); (2) ogni prova ha solo due esiti (successo/insuccesso); (3) le prove sono indipendenti; (4) la probabilità di successo \(p\) è costante in ogni prova. In questo esempio: \(n=10\) prove fisse, due esiti (positivo/negativo), prove indipendenti (bambini diversi), \(p=0.15\) costante. Tutte le condizioni sono soddisfatte. La variabilità di \(p\) tra individui o la dipendenza tra prove violerebbero rispettivamente la quarta e la terza condizione. Il requisito \(n \geq 30\) riguarda l'approssimazione normale della binomiale, non la sua applicabilità. La dipendenza tra prove porta a distribuzioni diverse (es. ipergeometrica).
Uno psicologo somministra un test di screening a \(n = 20\) pazienti. La probabilità che ciascun paziente risulti positivo è \(p = 0.40\), indipendentemente dagli altri. Sia \(X \sim B(20, 0.40)\) il numero di positivi. Quali sono la media e la varianza di \(X\)?
Per una variabile casuale \(X \sim B(n, p)\), la media è \(E(X) = np = 20 \times 0.40 = \mathbf{8}\) e la varianza è \(\text{Var}(X) = np(1-p) = 20 \times 0.40 \times 0.60 = \mathbf{4.8}\). Questi risultati si ottengono sfruttando il fatto che \(X\) è la somma di \(n\) variabili di Bernoulli iid: la media e la varianza della somma sono \(n\) volte la media e la varianza della singola Bernoulli. I valori 0.40 e 0.24 sono i parametri della singola prova di Bernoulli, non della somma. Uguagliare media e varianza è la proprietà della Poisson (\(\lambda = \lambda\)), non della binomiale. Calcolare la media come \(n/2 = 10\) sarebbe corretto solo se \(p = 0.50\).
In uno studio sull'efficacia di una terapia breve, la probabilità che un paziente mostri miglioramento clinico significativo è \(p = 0.60\). La terapia viene somministrata a \(n = 4\) pazienti indipendenti. La funzione di massa di probabilità binomiale è \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\). Qual è la probabilità che esattamente 3 pazienti su 4 mostrino miglioramento?
La formula della distribuzione binomiale è \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\). Con \(n=4\), \(k=3\), \(p=0.60\): il coefficiente binomiale \(\binom{4}{3} = 4\) conta il numero di sequenze distinte con esattamente 3 successi in 4 prove; \(p^3 = 0.60^3 = 0.216\) è la probabilità di 3 successi; \((1-p)^1 = 0.40\) è la probabilità di 1 insuccesso. Quindi \(P(X=3) = 4 \times 0.216 \times 0.40 = \mathbf{0.3456}\). Il valore 0.216 omette sia il coefficiente binomiale sia la probabilità dell'insuccesso. Il valore 0.0864 omette il coefficiente binomiale ma include correttamente \((1-p)\): è l'errore più frequente, ignora che ci sono 4 sequenze distinte ugualmente probabili. Il valore 0.75 applica erroneamente la definizione classica di probabilità.