In un campione di \(n = 100\) studenti universitari, \(\hat{\pi} = 0.38\) dichiara di aver sofferto di sintomi depressivi nell'ultimo anno. Si vuole verificare \(H_0: \pi = 0.30\) contro \(H_1: \pi \neq 0.30\) con \(\alpha = 0.05\). La statistica test è \(z = (\hat{\pi} - \pi_0) / \sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}\). Dalla tavola: \(z_{0.025} = 1.96\). Qual è il valore di \(z\) e la decisione corretta?
La statistica test è \(z = (\hat{\pi} - \pi_0)/\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n} = (0.38 - 0.30)/\sqrt{0.30 \times 0.70/100} = 0.08/\sqrt{0.0021} = 0.08/0.0458 \approx \mathbf{1.75}\). Per un test bilaterale con \(\alpha = 0.05\) la regola di rifiuto è \(|z| > 1.96\). Poiché \(|1.75| < 1.96\), non si rifiuta \(H_0\): i dati non forniscono evidenza sufficiente che la proporzione differisca da 0.30. Nota: la statistica usa \(\pi_0\) (non \(\hat{\pi}\)) al denominatore, perché sotto \(H_0\) la varianza è \(\pi_0(1-\pi_0)/n\). Le opzioni 2 e 4 sbagliano la regola di decisione confrontando \(z\) con \(\alpha\) invece che col valore critico. La terza divide erroneamente per \(n\) invece che per \(\sqrt{n}\) nel denominatore.
Un ricercatore verifica \(H_0: \mu = 70\) contro \(H_1: \mu \neq 70\) con \(\alpha = 0.05\). La varianza della popolazione è incognita. Il campione ha \(n = 10\), \(\bar{x} = 74\), \(s = 8\). Il valore critico dalla tavola \(t\) è \(t_{0.025,\, 9} = 2.262\). Qual è la statistica test \(t\) e la decisione corretta?
Con \(\sigma\) incognita si usa il test \(t\): \(t = (\bar{x} - \mu_0)/(s/\sqrt{n}) = (74-70)/(8/\sqrt{10}) = 4/2.530 \approx \mathbf{1.58}\), con \(\nu = n - 1 = 9\) gradi di libertà. La regola di rifiuto bilaterale è \(|t| > t_{0.025,\, 9} = 2.262\). Poiché \(|1.58| < 2.262\), non si rifiuta \(H_0\). La seconda opzione usa erroneamente il valore critico della normale standard \(z_{0.025} = 1.96\) invece di quello della \(t\) con 9 gradi di libertà: con campioni piccoli le code della \(t\) sono più pesanti e il valore critico è più grande. La terza divide per \(n\) invece che per \(\sqrt{n}\). La quarta confronta \(t\) con \(\alpha\), errore di scala concettuale.
Un ricercatore vuole verificare \(H_0: \sigma^2 = 25\) contro \(H_1: \sigma^2 \neq 25\) con \(\alpha = 0.05\). Il campione ha \(n = 20\) e varianza campionaria \(s^2 = 36\). La statistica test è \(\chi^2 = (n-1)s^2/\sigma^2_0\). I valori critici dalla tavola \(\chi^2\) con 19 gradi di libertà sono \(\chi^2_{0.025,\,19} = 8.907\) e \(\chi^2_{0.975,\,19} = 32.852\). Qual è la statistica test e la decisione corretta?
La statistica test è \(\chi^2 = (n-1)s^2/\sigma^2_0 = 19 \times 36 / 25 = 684/25 = \mathbf{27.36}\), con \(\nu = n-1 = 19\) gradi di libertà. Per un test bilaterale la regola di rifiuto è \(\chi^2 < \chi^2_{0.025,19} = 8.907\) oppure \(\chi^2 > \chi^2_{0.975,19} = 32.852\). Poiché \(8.907 < 27.36 < 32.852\), il valore cade nella regione di non rifiuto: non si rifiuta \(H_0\). La seconda opzione confronta erroneamente \(\chi^2\) con \(\sigma^2_0 = 25\) invece che con i valori critici della tavola. La terza calcola il rapporto \(s^2/\sigma^2_0 = 36/25 = 1.44\) senza moltiplicare per \(n-1\). La quarta confronta \(\chi^2\) con \(\alpha\), errore di scala.
Una variabile casuale \(\chi^2_\nu\) con \(\nu\) gradi di libertà è definita come la somma di \(\nu\) variabili casuali normali standard al quadrato: \(\chi^2_\nu = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_\nu^2\). Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente le sue proprietà?
La distribuzione \(\chi^2_\nu\) ha tre proprietà fondamentali: (1) assume solo valori non negativi (\(\chi^2 \geq 0\)) perché è somma di quadrati; (2) è asimmetrica positiva (coda destra lunga), con asimmetria che diminuisce all'aumentare di \(\nu\) avvicinandosi progressivamente alla normale; (3) la sua media è \(\nu\) e la varianza è \(2\nu\). Non è simmetrica: la simmetria si raggiunge solo asintoticamente per \(\nu\) grande. Non può assumere valori negativi: i quadrati di variabili reali sono sempre \(\geq 0\). Media 0 e varianza 1 caratterizzano la normale standard, non la \(\chi^2\).
La variabile casuale \(T\) di Student con \(\nu\) gradi di libertà è definita come \(T = Z / \sqrt{\chi^2_\nu / \nu}\), dove \(Z \sim N(0,1)\) e \(\chi^2_\nu\) sono indipendenti. Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente le sue proprietà?
La distribuzione \(t\) di Student ha quattro proprietà chiave: (1) è simmetrica intorno a 0, perché \(Z\) è simmetrica e la radice quadrata al denominatore è sempre positiva; (2) ha code più pesanti della normale standard, perché il denominatore stocastico introduce variabilità aggiuntiva; (3) converge alla \(N(0,1)\) al crescere di \(\nu\) (già con \(\nu \geq 30\) l'approssimazione è ottima); (4) la sua varianza è \(\nu/(\nu-2)\) per \(\nu > 2\), sempre maggiore di 1. Non è asimmetrica: la presenza della \(\chi^2\) al denominatore non ne altera la simmetria. Media \(\nu\) e varianza \(2\nu\) sono i parametri della \(\chi^2\), non della \(t\). Per valori piccoli di \(\nu\) la \(t\) differisce marcatamente dalla normale standard.
La variabile casuale \(F\) di Fisher con \(\nu_1\) e \(\nu_2\) gradi di libertà è definita come il rapporto di due variabili \(\chi^2\) indipendenti, ciascuna divisa per i propri gradi di libertà: \(F = (\chi^2_{\nu_1}/\nu_1) / (\chi^2_{\nu_2}/\nu_2)\). Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente le sue proprietà?
La distribuzione \(F\) di Fisher ha tre proprietà fondamentali: (1) assume solo valori non negativi (\(F \geq 0\)) perché è rapporto di quantità non negative; (2) è asimmetrica positiva con coda destra, che si attenua all'aumentare dei gradi di libertà; (3) dipende da due parametri: i gradi di libertà del numeratore \(\nu_1\) e del denominatore \(\nu_2\). La sua media è \(\nu_2/(\nu_2-2)\) per \(\nu_2 > 2\), non necessariamente 1. Non è simmetrica: i rapporti di variabili positive non sono in generale distribuiti simmetricamente. \(F\) non può essere negativa perché \(\chi^2 \geq 0\) sempre. Media 0 e varianza 1 caratterizzano la normale standard.
Due gruppi indipendenti di pazienti vengono confrontati su un punteggio di benessere. Gruppo 1: \(n_1 = 12\), \(\bar{x}_1 = 65\), \(s_1^2 = 40\). Gruppo 2: \(n_2 = 10\), \(\bar{x}_2 = 58\), \(s_2^2 = 50\). Assumendo omoschedasticità, qual è la varianza pooled \(s^2_p\)?
Sotto l'ipotesi di omoschedasticità (\(\sigma^2_1 = \sigma^2_2\)), la varianza pooled combina le due stime pesandole per i rispettivi gradi di libertà: \(s^2_p = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{11 \times 40 + 9 \times 50}{12+10-2} = \frac{440 + 450}{20} = \frac{890}{20} = \mathbf{44.5}\). Il valore 45.0 è la media semplice delle due varianze \((40+50)/2\): ignora i diversi gradi di libertà dei due gruppi. Il valore 40.0 è la sola varianza del gruppo 1. Il valore 90.0 è la somma delle due varianze, senza dividere per i gradi di libertà.
Due gruppi indipendenti vengono confrontati su un punteggio di ansia. Gruppo 1: \(n_1 = 15\), \(\bar{x}_1 = 42\). Gruppo 2: \(n_2 = 15\), \(\bar{x}_2 = 36\). La varianza pooled è \(s^2_p = 64\). La statistica test per il confronto tra le medie sotto omoschedasticità è \(t = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) / \sqrt{s^2_p(1/n_1 + 1/n_2)}\). Quanti gradi di libertà ha questa statistica?
Il test \(t\) per due campioni indipendenti con varianza pooled ha \(\nu = n_1 + n_2 - 2 = 15 + 15 - 2 = \mathbf{28}\) gradi di libertà. La sottrazione di 2 riflette il fatto che vengono stimate due medie (\(\bar{x}_1\) e \(\bar{x}_2\)), consumando un grado di libertà per ciascuna. La statistica test vale \(t = (42-36)/\sqrt{64(1/15+1/15)} = 6/\sqrt{64 \times 2/15} = 6/\sqrt{8.533} = 6/2.921 \approx 2.05\). Il valore \(\nu = n_1 + n_2 = 30\) ignora la perdita di gradi di libertà dovuta alla stima delle medie. Il valore 14 usa solo i gradi di libertà di uno dei due gruppi. Il valore 29 è la formula corretta per il test \(t\) su un solo campione, non per due.
Due gruppi di pazienti vengono confrontati su un punteggio di depressione. Gruppo 1: \(n_1 = 12\), \(s_1^2 = 20\). Gruppo 2: \(n_2 = 15\), \(s_2^2 = 95\). Un ricercatore deve scegliere tra il test \(t\) con varianza pooled e il test di Welch. Quale delle seguenti affermazioni giustifica correttamente la scelta?
Il test \(t\) con varianza pooled assume omoschedasticità (\(\sigma^2_1 = \sigma^2_2\)). Quando questa ipotesi è violata, la statistica pooled non ha distribuzione \(t\) esatta e i risultati possono essere distorti. Il test di Welch (o test \(t\) per varianze diseguali) non assume uguaglianza delle varianze: usa le varianze campionarie separatamente e approssima i gradi di libertà con la formula di Welch-Satterthwaite. Con \(s_2^2/s_1^2 \approx 4.75\), le varianze differiscono di quasi 5 volte: è ragionevole dubitare dell'omoschedasticità e preferire il test di Welch. La simile dimensione dei campioni non garantisce omoschedasticità. Il test di Welch non è sempre preferibile: con varianze uguali, il test pooled è leggermente più potente. Il test di Welch non ha requisiti minimi su \(n\).
Un ricercatore verifica \(H_0: \sigma^2_1 = \sigma^2_2\) contro \(H_1: \sigma^2_1 \neq \sigma^2_2\) con \(\alpha = 0.05\). Gruppo 1: \(n_1 = 11\), \(s_1^2 = 48\). Gruppo 2: \(n_2 = 9\), \(s_2^2 = 12\). La statistica test è \(F = s^2_1/s^2_2\) con \(\nu_1 = n_1-1\) e \(\nu_2 = n_2-1\) gradi di libertà. Il valore critico è \(F_{0.025;\, 10,\, 8} = 4.30\). Qual è il valore di \(F\) e la decisione corretta?
La statistica test è \(F = s^2_1/s^2_2 = 48/12 = \mathbf{4.00}\), con \(\nu_1 = 10\) e \(\nu_2 = 8\) gradi di libertà. Per convenzione si pone al numeratore la varianza maggiore. Per un test bilaterale con \(\alpha = 0.05\) si usa il valore critico \(F_{0.025;\, 10,\, 8} = 4.30\): si rifiuta \(H_0\) se \(F > 4.30\). Poiché \(4.00 < 4.30\), non si rifiuta \(H_0\): non c'è evidenza sufficiente di eteroschedasticità. La seconda opzione confronta \(F\) con 1 (il valore atteso sotto \(H_0\)): non è la regola di decisione corretta. La terza inverte il rapporto (\(12/48 = 0.25\)): per convenzione si mette la varianza maggiore al numeratore. La quarta confronta \(F\) con \(\alpha\), errore di scala.
Un ricercatore misura il livello di ansia di \(n = 8\) pazienti prima e dopo un intervento. Le differenze \(d_i = x_{\text{pre},i} - x_{\text{post},i}\) sono: \(3, 5, -1, 4, 6, 2, 3, 2\). Si verifica \(H_0: \mu_d = 0\) contro \(H_1: \mu_d \neq 0\) con \(\alpha = 0.05\). La media delle differenze è \(\bar{d} = 3.00\) e la deviazione standard delle differenze è \(s_d = 2.14\). Il valore critico è \(t_{0.025,\, 7} = 2.365\). Qual è la statistica test \(t\) e la decisione corretta?
Nel test \(t\) per campioni appaiati si lavora sulle differenze \(d_i\): la statistica test è \(t = \bar{d}/(s_d/\sqrt{n}) = 3.00/(2.14/\sqrt{8}) = 3.00/0.756 = \mathbf{3.97}\), con \(\nu = n - 1 = 7\) gradi di libertà. Poiché \(|3.97| = 3.97 > t_{0.025,7} = 2.365\), si rifiuta \(H_0\): l'intervento ha prodotto una riduzione significativa dell'ansia. Il vantaggio dell'approccio appaiato è che elimina la variabilità individuale tra soggetti, aumentando la potenza rispetto al test per campioni indipendenti. La seconda opzione nega la regola di decisione senza giustificazione statistica. La terza divide per \(n\) invece che per \(\sqrt{n}\): \(2.14/8 = 0.2675\), ottenendo \(t = 3.00/0.2675 = 11.2\), non 1.40. La quarta confronta \(t\) con \(\alpha\).
Un ricercatore vuole confrontare i livelli di cortisolo prima e dopo una sessione di terapia negli stessi 20 pazienti. Quale disegno di analisi è corretto?
Poiché le misurazioni pre e post sono effettuate sugli stessi soggetti, le osservazioni non sono indipendenti: ogni paziente contribuisce con due misurazioni correlate. Il test corretto è il test \(t\) per campioni appaiati, che calcola la differenza \(d_i = x_{\text{pre},i} - x_{\text{post},i}\) per ciascun soggetto e testa se la media di queste differenze è diversa da zero. Questo approccio rimuove la variabilità individuale tra soggetti, aumentando la potenza del test. Usare il test per campioni indipendenti ignorerebbe la struttura appaiata dei dati, trattando come indipendenti misurazioni che non lo sono. Il test \(z\) richiederebbe \(\sigma\) nota. Il test di Welch è per campioni indipendenti con varianze eterogenee, non per dati appaiati.
Un ricercatore ha due gruppi di studenti diversi (nessuna corrispondenza tra i soggetti) e vuole confrontare i loro punteggi medi di autoefficacia. Prima di scegliere tra test \(t\) con varianza pooled e test di Welch, esegue un test di omogeneità delle varianze e ottiene \(p = 0.03\). Con \(\alpha = 0.05\), quale test usa per confrontare le medie?
Il test di omogeneità delle varianze ha prodotto \(p = 0.03 < \alpha = 0.05\): si rifiuta l'ipotesi di omoschedasticità. In presenza di eteroschedasticità, il test \(t\) con varianza pooled non è appropriato perché assume \(\sigma^2_1 = \sigma^2_2\). Si deve quindi usare il test di Welch, che non richiede questa ipotesi e stima i gradi di libertà con la formula di Welch-Satterthwaite. Il test pooled sarebbe corretto se il test di omoschedasticità non avesse rigettato \(H_0\). Il test per campioni appaiati richiede una corrispondenza uno-a-uno tra i soggetti dei due gruppi, che qui non esiste. Il test \(z\) richiederebbe \(\sigma\) nota, non stimata.