Un ricercatore osserva la forma della distribuzione binomiale \(B(n, p)\) al variare dei parametri. Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente come cambia la forma della distribuzione binomiale?
La forma della distribuzione binomiale dipende dal parametro \(p\). Quando \(p = 0.5\) la distribuzione è perfettamente simmetrica: i successi e gli insuccessi sono equiprobabili e la distribuzione è speculare attorno alla media \(np\). Quando \(p < 0.5\) i successi sono rari e la distribuzione è asimmetrica positiva (coda a destra): la massa di probabilità è concentrata verso i valori bassi. Quando \(p > 0.5\) gli insuccessi sono rari e la distribuzione è asimmetrica negativa (coda a sinistra). All'aumentare di \(n\) la distribuzione si avvicina alla normale per qualsiasi \(p\) fisso, ma la simmetria a \(n\) finito dipende sempre da \(p\).
In uno studio su \(n = 100\) pazienti, la probabilità di risposta positiva a un trattamento è \(p = 0.40\). Sia \(X \sim B(100, 0.40)\). Per il teorema del limite centrale, \(X\) può essere approssimata con una normale. Quali sono i parametri di questa approssimazione?
Per il teorema del limite centrale, una variabile binomiale \(X \sim B(n,p)\) con \(n\) grande può essere approssimata da una normale con la stessa media e la stessa varianza: \(E(X) = np = 100 \times 0.40 = 40\) e \(\text{Var}(X) = np(1-p) = 100 \times 0.40 \times 0.60 = 24\). Quindi \(X \stackrel{\text{a}}{\sim} N(40, 24)\). I valori 0.40 e 0.24 sono la media e la varianza della singola prova di Bernoulli, non della somma di 100 prove. Il valore 4.90 è la deviazione standard \(\sqrt{24} \approx 4.90\), non la varianza. Il valore 100 come media sarebbe corretto solo se \(p = 1\).
Per una variabile casuale continua \(X\) con funzione di densità \(f(x)\), quale delle seguenti affermazioni è corretta?
Per una variabile casuale continua, \(f(x)\) è la funzione di densità di probabilità: non rappresenta una probabilità diretta ma una densità. La probabilità è l'area sotto la curva in un intervallo: \(P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx\). Conseguenza cruciale: la probabilità che \(X\) assuma esattamente un valore specifico è sempre zero, \(P(X = x_0) = 0\), perché un punto ha area nulla. Questo distingue nettamente le variabili continue da quelle discrete. La funzione di densità deve soddisfare \(f(x) \geq 0\) per ogni \(x\) e \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1\): i valori negativi di \(f(x)\) non sono ammessi.
Uno psicologo estrae ripetutamente campioni di \(n = 30\) studenti da una popolazione e calcola la media campionaria \(\bar{X}\) su ogni campione, ottenendo ogni volta un valore diverso. Cosa descrive la distribuzione campionaria di \(\bar{X}\)?
La distribuzione campionaria di una statistica descrive come i valori di quella statistica variano da campione a campione, cioè la sua distribuzione di probabilità considerando tutti i possibili campioni estraibili dalla popolazione. È una distribuzione teorica — non si osserva direttamente — ma governa il comportamento della statistica. Questa è la chiave di volta dell'inferenza statistica: le proprietà della distribuzione campionaria (media, varianza, forma) permettono di fare affermazioni sulla popolazione partendo da un singolo campione osservato. La distribuzione del singolo campione osservato è diversa: descrive i dati di quella specifica realizzazione. La distribuzione della popolazione è anch'essa distinta: riguarda i singoli valori, non le statistiche calcolate su gruppi di essi.
In uno studio clinico, ogni paziente risponde al trattamento (1) o non risponde (0), con probabilità \(p = 0.60\). Si estrae un campione di \(n = 50\) pazienti indipendenti. La media campionaria \(\bar{X}\) rappresenta in questo caso la proporzione di successi nel campione. Quali sono la media e la varianza della distribuzione campionaria di \(\bar{X}\)?
Con un modello generatore bernoulliano, le singole osservazioni \(X_i \sim \text{Bernoulli}(p)\) hanno \(E(X_i) = p = 0.60\) e \(\text{Var}(X_i) = p(1-p) = 0.60 \times 0.40 = 0.24\). La media campionaria \(\bar{X}\) ha quindi: \(E(\bar{X}) = p = 0.60\) e \(\text{Var}(\bar{X}) = p(1-p)/n = 0.24/50 = 0.0048\). Il valore 0.24 come varianza di \(\bar{X}\) è l'errore di non dividere per \(n\): è la varianza della singola Bernoulli, non della media campionaria. Il valore 30 come media sarebbe la somma \(np\), non la media \(\bar{X}\). Il valore 0.60 come varianza confonde \(p\) con la varianza.
I punteggi di un test di memoria seguono una distribuzione normale nella popolazione con \(\mu = 60\) e \(\sigma^2 = 100\). Si estrae un campione di \(n = 25\) osservazioni. Quale affermazione descrive correttamente la distribuzione di \(\bar{X}\)?
Quando la popolazione è normale, la media campionaria \(\bar{X}\) è a sua volta esattamente normale per qualsiasi \(n\), grazie alla proprietà riproduttiva: \(\bar{X} \sim N(\mu,\ \sigma^2/n) = N(60,\ 100/25) = N(60,\ 4)\). Il risultato è esatto, non approssimato: non è necessario invocare il teorema del limite centrale. Il TLC entra in gioco solo quando la popolazione non è normale. Usare \(\sigma^2 = 100\) invece di \(\sigma^2/n = 4\) è l'errore di non dividere per \(n\): confonde la variabilità della popolazione con quella della media campionaria. Con popolazione normale, qualsiasi \(n \geq 1\) garantisce la normalità esatta di \(\bar{X}\).
I tempi di attesa per un colloquio psicologico hanno nella popolazione una distribuzione fortemente asimmetrica con \(\mu = 15\) giorni e \(\sigma^2 = 81\). Un ricercatore estrae campioni di \(n = 81\) pazienti. Quale affermazione è corretta riguardo alla distribuzione di \(\bar{X}\)?
Con popolazione non normale ma \(n\) sufficientemente grande, il teorema del limite centrale garantisce che \(\bar{X}\) sia approssimativamente normale: \(\bar{X} \stackrel{\text{a}}{\sim} N(\mu,\ \sigma^2/n) = N(15,\ 81/81) = N(15,\ 1)\). Il simbolo \(\stackrel{\text{a}}{\sim}\) indica che si tratta di un'approssimazione asintotica, non di un risultato esatto. La distribuzione asimmetrica della popolazione non si trasmette a \(\bar{X}\) per \(n\) grande: è esattamente il fenomeno che il TLC descrive. La proprietà riproduttiva della normale si applica solo quando la popolazione è normale: qui non è il caso, quindi la distribuzione è approssimata, non esatta. Il TLC non è bloccato dall'asimmetria della popolazione, purché \(n\) sia adeguatamente grande.
In una verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza nota \(\sigma^2 = 16\), un ricercatore vuole testare se \(\mu = 50\). Raccoglie un campione di \(n = 16\) osservazioni e calcola \(\bar{x} = 53\). Quale dei seguenti elementi appartiene allo spazio parametrico?
Lo spazio parametrico \(\Theta\) è l'insieme di tutti i valori che il parametro di interesse può assumere secondo il modello: nel caso della media \(\mu\) di una normale, è tipicamente la retta reale \(\mathbb{R}\) o un suo sottoinsieme. Il valore \(\mu = 50\) è un elemento specifico dello spazio parametrico: è il valore ipotizzato per il parametro. Lo spazio campionario contiene tutte le possibili realizzazioni del campione. Lo spazio della statistica contiene i possibili valori della statistica test: \(\bar{x} = 53\) e \(z = 3\) appartengono a questi ultimi due spazi rispettivamente. Distinguere i tre spazi è fondamentale per capire cosa viene ipotizzato (spazio parametrico), cosa si osserva (spazio campionario) e come si sintetizzano i dati per la decisione (spazio della statistica).
Uno psicologo vuole verificare se un nuovo programma di riduzione dello stress è efficace. Formula l'ipotesi nulla \(H_0: \mu = 40\) (nessun effetto) e l'ipotesi alternativa \(H_1: \mu < 40\) (riduzione dello stress). Qual è la logica della verifica di ipotesi in questo contesto?
La logica della verifica di ipotesi è di tipo indiretto per assurdo: si assume provvisoriamente vera \(H_0\) e si calcola la probabilità di osservare dati almeno altrettanto estremi di quelli ottenuti, se \(H_0\) fosse vera (p-value). Se questa probabilità è molto piccola (inferiore al livello di significatività \(\alpha\)), i dati sono incompatibili con \(H_0\) e si rifiuta. Non si dimostra mai direttamente \(H_1\): si raccoglie evidenza contro \(H_0\). Non si sceglie semplicemente l'ipotesi che descrive meglio i dati: il confronto avviene entro un quadro probabilistico preciso. Il solo fatto che \(\bar{x} \neq 40\) non è sufficiente: qualsiasi campione produrrà \(\bar{x} \neq 40\) per fluttuazioni casuali; la domanda è se la differenza è sufficientemente grande da essere improbabile sotto \(H_0\).
Un ricercatore vuole verificare \(H_0: \mu = 100\) contro \(H_1: \mu \neq 100\) con \(\alpha = 0.05\). La popolazione è normale con \(\sigma = 15\) (nota). Raccoglie \(n = 25\) osservazioni con \(\bar{x} = 106\). Qual è il valore della statistica test \(z\) e la corretta regola di decisione per un test bilaterale?
La statistica test è \(z = (\bar{x} - \mu_0)/(\sigma/\sqrt{n}) = (106 - 100)/(15/\sqrt{25}) = 6/3 = 2.00\). Per un test bilaterale con \(\alpha = 0.05\), la regione di rifiuto è \(|z| > z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96\). Poiché \(|2.00| = 2.00 > 1.96\), si rifiuta \(H_0\). Il confronto con \(z_{0.05} = 1.645\) è la soglia per un test unilaterale, non bilaterale: usarla per un test bilaterale abbassa erroneamente la soglia. Il valore \(z = 0.40\) si otterrebbe dividendo la differenza grezza per \(\sigma\) invece che per \(\sigma/\sqrt{n}\): \(6/15 = 0.40\). Il giudizio di "vicinanza" tra \(\bar{x}\) e \(\mu_0\) non è sufficiente: la decisione si basa sulla statistica standardizzata, non sulla differenza grezza.
Un ricercatore formula le seguenti ipotesi: \(H_0: \mu = 50\) e \(H_1: \mu > 50\). Come si classificano correttamente queste ipotesi?
Un'ipotesi semplice specifica completamente il valore del parametro: \(H_0: \mu = 50\) è semplice perché identifica un unico punto nello spazio parametrico. Un'ipotesi composta specifica invece un insieme di valori: \(H_1: \mu > 50\) è composta perché è soddisfatta da infiniti valori di \(\mu\). Poiché specifica una sola direzione di scostamento (valori superiori a 50), si dice unidirezionale (o monolaterale). Un'ipotesi bidirezionale sarebbe \(H_1: \mu \neq 50\), che include sia valori maggiori sia minori di 50. Il fatto che entrambe riguardino \(\mu\) non le rende entrambe semplici: la semplicità dipende da quanti valori parametrici sono ammessi, non da quale parametro si considera.
Prima di raccogliere i dati, un ricercatore fissa \(\alpha = 0.05\). Dopo aver condotto il test \(z\) ottiene un p-value di 0.032. Quale affermazione descrive correttamente il ruolo di \(\alpha\) e del p-value nel processo di decisione?
Il livello di significatività \(\alpha\) è una soglia fissata prima della raccolta dei dati: rappresenta la probabilità massima tollerabile di commettere un errore di I tipo (rifiutare \(H_0\) quando è vera). Il p-value è invece calcolato dopo aver osservato i dati: esprime la probabilità di ottenere una statistica test uguale o più estrema di quella osservata, sotto \(H_0\). La regola di decisione è: se \(p \leq \alpha\) si rifiuta \(H_0\). Qui \(0.032 < 0.05\), quindi si rifiuta \(H_0\). I due valori non sono equivalenti: \(\alpha\) è una scelta del ricercatore che definisce la regola decisionale; il p-value è un'evidenza empirica. L'ordine temporale è essenziale: fissare \(\alpha\) dopo aver visto il p-value invalida il controllo dell'errore di I tipo.
Un ricercatore conduce un test \(z\) bilaterale sulla media e ottiene \(z = 2.45\), a cui corrisponde un p-value di 0.014. Il livello di significatività scelto è \(\alpha = 0.05\). Quale delle seguenti affermazioni interpreta correttamente il p-value?
Il p-value (livello di significatività osservato) è la probabilità, calcolata sotto \(H_0\), di osservare una statistica test uguale o più estrema di quella effettivamente ottenuta: \(p = P(|Z| \geq 2.45 \mid H_0 \text{ vera}) = 0.014\). Poiché \(p = 0.014 < \alpha = 0.05\), si rifiuta \(H_0\). Il p-value non è la probabilità che \(H_0\) sia vera: \(H_0\) o è vera o non lo è, non ha probabilità nell'impostazione frequentista. Analogamente non è la probabilità che \(H_1\) sia vera. Non riguarda errori di calcolo ma la compatibilità dei dati con il modello sotto \(H_0\). L'errore di interpretare il p-value come \(P(H_0 \text{ vera})\) è uno dei più comuni e pericolosi nella pratica della ricerca psicologica.
Uno psicologo vuole verificare se il livello medio di ansia degli studenti universitari della sua città differisce dalla norma nazionale di \(\mu_0 = 50\). Raccoglie un campione di \(n = 36\) studenti, ottiene \(\bar{x} = 54\) e sa che la deviazione standard nella popolazione è \(\sigma = 12\) (nota). Fissa \(\alpha = 0.05\) per un test bilaterale. Dalla tavola: \(z_{0.025} = 1.96\). Qual è il valore della statistica test \(z\) e quale è la decisione corretta?
La statistica test per la verifica sulla media con \(\sigma\) nota è \(z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{54 - 50}{12 / \sqrt{36}} = \frac{4}{2} = \mathbf{2.00}\). Per un test bilaterale con \(\alpha = 0.05\), la regione di rifiuto è \(|z| > z_{0.025} = 1.96\). Poiché \(|2.00| = 2.00 > 1.96\), si rifiuta \(H_0\): i dati forniscono evidenza sufficiente che la media degli studenti differisce dalla norma nazionale. La seconda opzione commette l'errore concettuale di confrontare la statistica \(z\) con il livello \(\alpha\): \(z\) e \(\alpha\) non sono sulla stessa scala. La terza opzione divide per \(n\) invece che per \(\sqrt{n}\) nel calcolo dell'errore standard: \(12/36 = 0.33\), ottenendo \(z = 4/0.33 \approx 12\), non 0.33. La quarta opzione individua correttamente \(z\) ma sbaglia la regola di decisione, confrontando \(z\) con \(\alpha\).
Un ricercatore ottiene \(p = 0.049\) in un test \(z\) bilaterale e conclude: "Poiché \(p < 0.05\), ho dimostrato che la terapia è efficace e che l'effetto è rilevante dal punto di vista clinico." Quale delle seguenti critiche è corretta?
La conclusione è problematica per due ragioni distinte. Prima: la verifica di ipotesi non dimostra che la terapia sia efficace, ma fornisce evidenza statistica contro \(H_0\); rifiutare \(H_0\) non equivale a provare \(H_1\) — soprattutto con \(p = 0.049\), appena sotto la soglia convenzionale. Seconda: significatività statistica e rilevanza clinica sono concetti distinti. Con campioni grandi si possono ottenere risultati statisticamente significativi anche per effetti trascurabili nella pratica. La rilevanza clinica si valuta con misure di effect size (es. Cohen's \(d\)), non con il p-value. Un valore di \(p\) vicino alla soglia non invalida il test matematicamente, ma invita alla cautela interpretativa. Abbassare \(\alpha\) a 0.01 sposterebbe solo la soglia convenzionale senza risolvere il problema concettuale.
Un ricercatore valuta l'efficacia di una psicoterapia breve. \(H_0\): la terapia non è efficace; \(H_1\): la terapia è efficace. Al termine dello studio, rifiuta \(H_0\) concludendo che la terapia funziona. In realtà, la terapia non è efficace. Quale tipo di errore ha commesso?
L'errore di I tipo (o \(\alpha\)) consiste nel rifiutare \(H_0\) quando \(H_0\) è in realtà vera: si conclude che c'è un effetto quando non esiste. In questo caso il ricercatore ha rifiutato \(H_0\) ("terapia non efficace") pur essendo essa vera: è esattamente un errore di I tipo, detto anche falso positivo. La probabilità di commetterlo è controllata dal livello di significatività \(\alpha\). L'errore di II tipo (\(\beta\)) è speculare: non rifiutare \(H_0\) quando \(H_0\) è falsa, cioè non rilevare un effetto reale (falso negativo). La quarta opzione descrive correttamente la situazione ma la etichetta erroneamente come II tipo: accettare \(H_1\) falsa equivale a rifiutare \(H_0\) vera, cioè errore di I tipo.
Uno psicologo testa \(H_0: \mu = 70\) contro \(H_1: \mu < 70\) sull'efficacia di un intervento. In realtà la media della popolazione è \(\mu = 65\), ma il test non rifiuta \(H_0\). Quale errore è stato commesso e come si chiama la probabilità di evitarlo?
L'errore di II tipo (\(\beta\)) consiste nel non rifiutare \(H_0\) quando \(H_0\) è falsa: si manca di rilevare un effetto reale (falso negativo). Qui \(\mu = 65 \neq 70\), quindi \(H_0\) è falsa, ma il test non la rifiuta: errore di II tipo. La potenza del test è \(1 - \beta\): la probabilità di rifiutare correttamente \(H_0\) quando è falsa. Una potenza alta è desiderabile: si ottiene aumentando \(n\), scegliendo \(\alpha\) più grande o riducendo la variabilità della misura. Etichettare questo come errore di I tipo è sbagliato: l'errore di I tipo richiede che \(H_0\) sia vera, cosa che non accade qui. La probabilità di evitare l'errore di II tipo non è \(\alpha\) ma \(1-\beta\): \(\alpha\) controlla l'errore di I tipo.
Un ricercatore, preoccupato di non concludere erroneamente che una terapia sia efficace quando non lo è, decide di abbassare il livello di significatività da \(\alpha = 0.05\) a \(\alpha = 0.01\), mantenendo invariati \(n\) e \(\sigma\). Quale conseguenza avrà questa scelta?
Esiste una relazione di trade-off tra errori di I e II tipo, a parità di \(n\) e \(\sigma\). Abbassare \(\alpha\) da 0.05 a 0.01 rende la regione di rifiuto più piccola (si richiedono dati più estremi per rifiutare \(H_0\)): ciò riduce la probabilità di errore di I tipo ma aumenta \(\beta\), cioè la probabilità di non rilevare un effetto reale, riducendo la potenza \(1-\beta\). Non è possibile ridurre entrambi gli errori simultaneamente a parità di \(n\): l'unico modo per ridurre entrambi è aumentare la dimensione campionaria \(n\). Un criterio più severo rende il test più difficile da superare: ciò non aumenta la potenza ma la diminuisce. La dipendenza tra \(\alpha\) e \(\beta\) è una delle considerazioni pratiche più importanti nel disegno di uno studio.