Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente la differenza semplice media senza ripetizione come indicatore di variabilità?
La differenza semplice media senza ripetizione (detta anche differenza media di Gini) considera tutte le coppie possibili di osservazioni distinte, ne calcola la differenza in valore assoluto, e ne fa la media: \(\Delta = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i \neq j} |x_i - x_j|\). La differenza tra massimo e minimo è il campo di variazione assoluto (range). La media delle differenze tra ciascuna osservazione e la media è lo scarto semplice medio dalla media. La radice quadrata della media dei quadrati degli scarti è lo scarto quadratico medio.
I punteggi di 8 studenti a un test di concentrazione, già ordinati, sono:
\[3, \quad 5, \quad 7, \quad 8, \quad 10, \quad 12, \quad 15, \quad 18\]
Il primo quartile è \(Q_1 = 6\) e il terzo quartile è \(Q_3 = 13.5\). Qual è il campo di variazione interquartile (IQR)?
Il campo di variazione interquartile si calcola come \(\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 13.5 - 6 = \mathbf{7.5}\). Esso rappresenta l'ampiezza dell'intervallo entro cui cade il 50% centrale delle osservazioni. Il valore 15 è il campo di variazione assoluto (18 - 3), non l'IQR. Il valore 8 è il valore centrale (mediana tra il 4° e il 5° dato: \((8+10)/2 = 9\), o un errore di calcolo dei quartili). Il valore 3 è il valore minimo della distribuzione.
Otto studenti hanno riportato il seguente numero di ore di studio nel fine settimana:
\[3, \quad 7, \quad 5, \quad 12, \quad 8, \quad 6, \quad 10, \quad 4\]
Qual è il campo di variazione assoluto (range) di questa distribuzione?
Il campo di variazione assoluto è la differenza tra il valore massimo e il valore minimo della distribuzione: \(\max - \min = 12 - 3 = \mathbf{9}\). Il valore 12 è il massimo della distribuzione, non il range. Il valore 3 è il minimo della distribuzione, non il range. Il valore 4.5 potrebbe derivare da un calcolo errato (es. dividere per due la differenza tra i valori centrali).
I punteggi di 5 studenti a un test di attenzione sono:
\[4, \quad 6, \quad 7, \quad 9, \quad 14\]
La mediana di questa distribuzione è 7. Qual è lo scarto semplice medio dalla mediana?
Lo scarto semplice medio dalla mediana si calcola come media aritmetica dei valori assoluti delle differenze tra ciascuna osservazione e la mediana: \(|4-7| + |6-7| + |7-7| + |9-7| + |14-7| = 3 + 1 + 0 + 2 + 7 = 13\). Dividendo per \(n = 5\): \(13 / 5 = \mathbf{2.6}\). Il valore 2.8 si ottiene calcolando erroneamente gli scarti dalla media (pari a 8) invece che dalla mediana: \((4 + 2 + 1 + 1 + 6)/5 = 14/5 = 2.8\). Il valore 1.3 dimezza erroneamente il risultato corretto. Il valore 7 è la mediana stessa, non lo scarto.
I punteggi di ansia (da 0 a 10) di 4 partecipanti a uno studio sono:
\[2, \quad 4, \quad 6, \quad 8\]
La media è 5. Qual è lo scarto quadratico medio (deviazione standard) di questa distribuzione?
Lo scarto quadratico medio si calcola come: \(\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}\). Gli scarti dalla media sono: \((2-5)^2 = 9\), \((4-5)^2 = 1\), \((6-5)^2 = 1\), \((8-5)^2 = 9\). La loro somma è \(9+1+1+9 = 20\). Dividendo per \(n=4\): \(20/4 = 5\). La radice quadrata di 5 è \(\sqrt{5} \approx \mathbf{2.24}\). Il valore 5 è la varianza (prima della radice quadrata), non lo scarto quadratico medio. Il valore 1.58 si ottiene dividendo per \(n-1=3\) invece di \(n\) (formula campionaria anziché quella della popolazione). Il valore 4 è il campo di variazione assoluto (8 - 2), non lo scarto quadratico medio.
Quale dei seguenti indicatori di variabilità è maggiormente influenzato dalla presenza di valori estremi (outlier)?
Il campo di variazione assoluto (differenza tra il valore massimo e il valore minimo) è l'indicatore più sensibile agli outlier, perché dipende esclusivamente dai due valori estremi della distribuzione: basta che uno solo di essi sia molto lontano dagli altri per alterarlo drasticamente. Il campo di variazione interquartile (IQR = Q3 - Q1) è invece robusto agli outlier perché si basa sui quartili centrali. Lo scarto semplice medio dalla mediana è anch'esso relativamente robusto. La moda è un indicatore di posizione, non di variabilità.