I punteggi di un questionario di stress lavoro-correlato sono distribuiti normalmente con media \(\mu = 30\) e deviazione standard \(\sigma = 6\). Uno psicologo del lavoro vuole identificare i lavoratori a rischio elevato, definiti come coloro che superano il 90° percentile. Dalla tavola si ricava \(\Phi(1.28) = 0.90\). Qual è il punteggio soglia per il rischio elevato?
Il 90° percentile corrisponde al valore \(x\) tale che \(P(X \leq x) = 0.90\). Dalla tavola, \(\Phi(1.28) = 0.90\), quindi \(z_{0.90} = 1.28\). Si riconverte: \(x = \mu + z \cdot \sigma = 30 + 1.28 \cdot 6 = 30 + 7.68 = \mathbf{37.68}\). I lavoratori con punteggio superiore a 37.68 sono classificati a rischio elevato. Il valore 22.32 usa \(z = -1.28\): è il 10° percentile (i lavoratori con stress più basso). Il valore 31.28 è l'errore di sommare \(z\) a \(\mu\) senza moltiplicare per \(\sigma\): \(30 + 1.28 = 31.28\). Il valore 34.00 potrebbe derivare da un arrotondamento errato o dall'uso di un \(z\) scorretto.
Un test di selezione del personale produce punteggi normalmente distribuiti con media \(\mu = 70\) e deviazione standard \(\sigma = 10\). L'azienda vuole assumere solo il 15% migliore dei candidati. Dalla tavola si ricava che \(\Phi(1.04) = 0.8508 \approx 0.85\). Qual è il punteggio minimo per essere selezionati?
Il 15% migliore corrisponde ai punteggi nel 15% superiore della distribuzione, quindi si cerca il valore \(x\) tale che \(P(X > x) = 0.15\), cioè \(P(X \leq x) = 0.85\). Dalla tavola, \(\Phi(1.04) \approx 0.85\), quindi \(z = 1.04\). Si riconverte in punteggio grezzo: \(x = \mu + z \cdot \sigma = 70 + 1.04 \cdot 10 = \mathbf{80.4}\). Il valore 59.6 si otterrebbe usando \(z = -1.04\): corrisponde al 15% peggiore, non al migliore. Il valore 71.04 è l'errore di sommare \(z\) direttamente a \(\mu\) senza moltiplicare per \(\sigma\): \(70 + 1.04 = 71.04\). Il valore 74.8 usa un \(z\) errato (es. \(z = 0.48\)).
I punteggi di un test di memoria di lavoro sono normalmente distribuiti con media \(\mu = 60\) e deviazione standard \(\sigma = 12\). Un neuropsicologo vuole identificare i pazienti con prestazione deficitaria, cioè con punteggio inferiore a 36. Dalla tavola si ricava \(\Phi(2.00) = 0.9772\). Quale proporzione di persone ha un punteggio inferiore a 36?
Si standardizza: \(z = (36 - 60)/12 = -24/12 = -2.00\). La probabilità cercata è \(P(Z < -2.00)\). Per la simmetria della normale standard: \(\Phi(-2.00) = 1 - \Phi(2.00) = 1 - 0.9772 = \mathbf{0.0228}\), cioè circa il 2.28%. In neuropsicologia, un punteggio a \(z \leq -2\) è spesso usato come soglia per identificare un deficit significativo. Il valore 0.9772 è \(\Phi(2.00)\): è l'area a sinistra di \(z=+2\), non di \(z=-2\). Il valore 0.0456 è il doppio di 0.0228: corrisponde all'area nelle due code oltre \(\pm 2\), non alla sola coda sinistra. Il valore 0.4772 è l'area tra \(z=0\) e \(z=2\), cioè metà dell'area entro \(\pm 2\sigma\).
I punteggi di un test di depressione sono distribuiti normalmente con media \(\mu = 50\) e deviazione standard \(\sigma = 10\). Quale proporzione di persone ottiene un punteggio compreso tra 40 e 65? Dalla tavola si ricava: \(\Phi(-1.00) = 0.1587\) e \(\Phi(1.50) = 0.9332\).
Si standardizzano entrambi i valori: \(z_1 = (40-50)/10 = -1.00\) e \(z_2 = (65-50)/10 = 1.50\). L'area tra i due valori è la differenza tra le cumulate: \(P(-1.00 \leq Z \leq 1.50) = \Phi(1.50) - \Phi(-1.00) = 0.9332 - 0.1587 = \mathbf{0.7745}\), cioè circa il 77.45%. Il valore 0.7919 si otterrebbe sottraendo \(\Phi(-1.00)\) da \(\Phi(1.00) = 0.8413\) invece di \(\Phi(1.50)\): errore di lettura della tavola. Il valore 0.9332 è la sola \(\Phi(1.50)\), senza sottrarre la coda sinistra. Il valore 0.0919 si otterrebbe sottraendo i complementi invece delle cumulate: \(0.0668 - 0.1587\), operazione priva di senso.
I punteggi di un test di autoefficacia sono distribuiti normalmente con media \(\mu = 100\) e deviazione standard \(\sigma = 15\). Quale proporzione di persone ottiene un punteggio superiore a 85? Dalla tavola si ricava \(\Phi(-1.00) = 0.1587\).
Si standardizza: \(z = (85 - 100)/15 = -1.00\). La probabilità cercata è quella a destra di \(z = -1.00\): \(P(Z > -1.00) = 1 - \Phi(-1.00) = 1 - 0.1587 = \mathbf{0.8413}\). In alternativa, per la simmetria della normale: \(P(Z > -1.00) = P(Z < +1.00) = \Phi(1.00) = 0.8413\). Il valore 0.1587 è \(\Phi(-1.00)\): è la probabilità a sinistra di \(z=-1\), cioè la proporzione di persone con punteggio inferiore a 85. Il 68.26% è l'area entro \(\pm 1\sigma\) (regola empirica), non l'area a destra di \(-1\). Il 97.72% corrisponde a \(\Phi(2.00)\), cioè all'area a sinistra di \(z=2\).
I punteggi di un test di ansia sono distribuiti normalmente con media \(\mu = 40\) e deviazione standard \(\sigma = 8\). Un ricercatore vuole sapere quale proporzione di persone ha un punteggio inferiore a 48. Dalla tavola della normale standard si ricava \(\Phi(1.00) = 0.8413\). Qual è la risposta corretta?
Prima si standardizza il valore: \(z = (48 - 40)/8 = 1.00\). La tavola della normale standard fornisce direttamente la probabilità cumulata a sinistra: \(P(Z \leq 1.00) = \Phi(1.00) = \mathbf{0.8413}\), cioè circa l'84.13% delle persone ha un punteggio inferiore a 48. Il 15.87% è la probabilità complementare \(P(Z > 1.00) = 1 - 0.8413\): è la proporzione di persone con punteggio superiore a 48, non inferiore. Il 68.26% corrisponde all'area entro \(\pm 1\sigma\) dalla media (regola empirica), non all'area a sinistra di \(z=1\). Il 50% sarebbe corretto solo se il valore cercato coincidesse con la media (\(z=0\)).
In uno studio sul benessere psicologico, il punteggio di affettività positiva è \(X_1 \sim N(35, 36)\) e quello di affettività negativa è \(X_2 \sim N(20, 25)\) (notazione: media e varianza). Le due variabili sono indipendenti. Qual è la distribuzione della differenza \(D = X_1 - X_2\)?
Per la proprietà riproduttiva, la differenza di due normali indipendenti è ancora una normale. La media della differenza è \(\mu_D = \mu_1 - \mu_2 = 35 - 20 = 15\). La varianza della differenza è \(\sigma^2_D = \sigma^2_1 + \sigma^2_2 = 36 + 25 = 61\) (le varianze si sommano anche nella differenza, perché la varianza è sempre positiva). Quindi \(D \sim N(15, 61)\). Il valore 11 come varianza è l'errore di chi sottrae le varianze: \(36 - 25 = 11\), confondendo la regola delle medie con quella delle varianze. Il valore 55 come media sarebbe la somma delle medie, non la differenza. Il valore 1 è la differenza delle deviazioni standard (\(6-5\)), non la varianza della differenza.
Due variabili indipendenti \(X_1 \sim N(30, 25)\) e \(X_2 \sim N(20, 16)\) rappresentano i punteggi di due sottoscale di un test (la notazione indica media e varianza). Quale è la distribuzione della loro somma \(Y = X_1 + X_2\)?
La proprietà riproduttiva della distribuzione normale stabilisce che la somma di variabili indipendenti normalmente distribuite è ancora una variabile normale. Media e varianza si sommano separatamente: \(\mu_Y = \mu_1 + \mu_2 = 30 + 20 = 50\) e \(\sigma^2_Y = \sigma^2_1 + \sigma^2_2 = 25 + 16 = 41\). Quindi \(Y \sim N(50, 41)\). Il valore 20 come varianza sarebbe la media delle varianze, non la loro somma: errore concettuale frequente. Il valore 600 come media sarebbe il prodotto delle medie, operazione priva di senso in questo contesto. Il valore 25 come media sarebbe la media aritmetica delle due medie, non la loro somma.
I punteggi di un test di personalità sono distribuiti normalmente con media \(\mu = 50\) e deviazione standard \(\sigma = 10\). Applicando la regola empirica, circa quale percentuale dei partecipanti ha ottenuto un punteggio compreso tra 30 e 70?
L'intervallo 30--70 corrisponde a \(\mu \pm 2\sigma\) (da \(50-20=30\) a \(50+20=70\)). La regola empirica (o regola 68-95-99.7) stabilisce che in una distribuzione normale circa il 95% delle osservazioni cade entro \(\pm 2\) deviazioni standard dalla media. Il 68% si riferisce all'intervallo \(\mu \pm 1\sigma\) (40--60 in questo caso). Il 99.7% si riferisce all'intervallo \(\mu \pm 3\sigma\) (20--80). Il 50% corrisponde a metà della distribuzione (da \(\mu\) a \(+\infty\), oppure da \(-\infty\) a \(\mu\)), non all'intervallo di \(\pm 2\sigma\).
Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente le proprietà della distribuzione normale?
La distribuzione normale è caratterizzata da: perfetta simmetria rispetto alla media \(\mu\); coincidenza di media, mediana e moda nello stesso punto centrale; code asintotiche, cioè la curva si avvicina indefinitamente all'asse orizzontale senza mai toccarlo, estendendosi teoricamente da \(-\infty\) a \(+\infty\). Le code non si annullano a \(\pm 3\sigma\): quella è solo una regola pratica (la regola empirica 68-95-99.7) che descrive la proporzione di area entro certe distanze dalla media, non i limiti della curva. La distribuzione standardizzata \(N(0,1)\) è un caso particolare: la normale è definita per qualunque coppia \((\mu, \sigma)\). La normale non è asimmetrica: è definita su tutta la retta reale e include valori negativi.