Uno psicologo costruisce un punteggio composito sommando i risultati di tre sottoscale indipendenti: \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), ciascuna con media \(\mu = 20\). Qual è la media della somma \(S = X_1 + X_2 + X_3\)?
La media di una somma di variabili casuali è uguale alla somma delle medie, indipendentemente dall'indipendenza o dalla distribuzione delle variabili: \(E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 20 + 20 + 20 = \mathbf{60}\). Il valore 20 è l'errore di chi ritiene che la media della somma coincida con la media dei singoli addendi, confondendo la media della somma con la media aritmetica. Il valore \(20\sqrt{3}\) deriva da un'errata applicazione delle regole sulla deviazione standard, non sulla media. La media è sempre calcolabile come somma delle medie: le varianze non sono necessarie per questo calcolo.
Un test di attenzione è composto da \(n = 4\) prove indipendenti e identicamente distribuite, ciascuna con media \(\mu = 10\) e varianza \(\sigma^2 = 9\). Qual è la varianza della somma \(S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\)?
Quando le variabili sono indipendenti, la varianza della somma è la somma delle varianze: \(\text{Var}(S) = \sigma^2_1 + \sigma^2_2 + \sigma^2_3 + \sigma^2_4 = 9 + 9 + 9 + 9 = \mathbf{36}\). In generale per \(n\) variabili iid: \(\text{Var}(S) = n\sigma^2 = 4 \cdot 9 = 36\). Il valore 9 è la varianza di una singola prova: errore di chi non propaga la varianza alla somma. Il valore 6 è la deviazione standard della somma (\(\sqrt{36}\)), non la varianza. Il valore 144 si otterrebbe moltiplicando le varianze invece di sommarle: \((n \cdot \sigma)^2 = (4 \cdot 3)^2 = 144\), confondendo la deviazione standard della somma con la varianza.
Da una popolazione con media \(\mu = 50\) e varianza \(\sigma^2 = 100\) si estrae un campione casuale di \(n = 25\) osservazioni indipendenti. Quali sono la media e la varianza della media campionaria \(\bar{X}\)?
La media campionaria \(\bar{X} = S/n\) è una combinazione lineare delle osservazioni. La sua media è \(E(\bar{X}) = \mu = \mathbf{50}\): la media campionaria è uno stimatore non distorto della media della popolazione. La sua varianza è \(\text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2/n = 100/25 = \mathbf{4}\). Il valore 100 come varianza di \(\bar{X}\) è l'errore di chi usa la varianza della popolazione senza dividere per \(n\). Il valore 2 come media sarebbe la deviazione standard di \(\bar{X}\) (errore standard: \(\sigma/\sqrt{n} = 10/5 = 2\)), non la media. Il valore 25 come varianza sarebbe il risultato di dividere \(\sigma^2\) per \(\sqrt{n}\) invece che per \(n\).
La deviazione standard della distribuzione campionaria della media \(\bar{X}\), detta errore standard, si calcola come \(\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}\). In uno studio sul benessere psicologico, la deviazione standard della popolazione è \(\sigma = 12\). Qual è l'errore standard della media con un campione di \(n = 36\) partecipanti?
\(\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n} = 12/\sqrt{36} = 12/6 = \mathbf{2}\). L'errore standard misura quanto varia la media campionaria da campione a campione: con \(n=36\) la media campionaria ha una dispersione di soli 2 punti attorno alla vera media della popolazione. Il valore 12 è la deviazione standard della popolazione, non dell'errore standard: è l'errore di chi dimentica di dividere per \(\sqrt{n}\). Il valore 0.33 si otterrebbe dividendo per \(n\) invece che per \(\sqrt{n}\): \(12/36 = 0.33\). Il valore 72 è il prodotto \(\sigma \cdot \sqrt{n}\) invece del rapporto.
Un ricercatore vuole dimezzare l'errore standard della media in uno studio sulla memoria, passando da \(\sigma_{\bar{X}} = 4\) a \(\sigma_{\bar{X}} = 2\). Se il campione attuale ha \(n = 25\) partecipanti, quanti partecipanti dovrà avere il nuovo campione?
Poiché \(\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}\), per dimezzare l'errore standard occorre quadruplicare la numerosità campionaria. Se \(\sigma_{\bar{X}}\) dimezza, allora \(\sqrt{n}\) deve raddoppiare, quindi \(n\) deve quadruplicare: \(n_\text{nuovo} = 4 \times 25 = \mathbf{100}\). Verifica: \(\sigma/\sqrt{100} = \sigma/10\); con \(n=25\): \(\sigma/\sqrt{25} = \sigma/5 = 4\), quindi \(\sigma = 20\); con \(n=100\): \(20/10 = 2\). ✓ Il valore 50 è l'errore di chi raddoppia \(n\) invece di quadruplicarlo, confondendo la relazione lineare con quella quadratica. Il valore 200 ottuplica il campione, riducendo l'errore standard di un fattore \(\sqrt{8} \approx 2.83\), non di 2. Il valore 12--13 dimezza \(n\) invece di quadruplicarlo.
I punteggi di un test di ansia in una popolazione sono distribuiti normalmente con media \(\mu = 40\) e deviazione standard \(\sigma = 10\). Si estrae un campione casuale di \(n = 25\) osservazioni indipendenti. Qual è la distribuzione esatta della media campionaria \(\bar{X}\)?
Quando la popolazione è normale, la media campionaria è a sua volta esattamente normale per qualsiasi \(n\), grazie alla proprietà riproduttiva: \(\bar{X} \sim N(\mu,\ \sigma^2/n) = N(40,\ 100/25) = \mathbf{N(40,\ 4)}\). La varianza dell'errore standard è \(\sigma^2/n = 100/25 = 4\) (deviazione standard \(= 2\)). Il valore 100 come varianza è l'errore di non dividere per \(n\): si confonde la varianza della popolazione con quella di \(\bar{X}\). Il valore 2 come varianza sarebbe la deviazione standard di \(\bar{X}\) (\(\sigma/\sqrt{n} = 10/5 = 2\)), non la varianza. La distribuzione di \(\bar{X}\) è sempre determinabile quando quella della popolazione è nota.
Il teorema del limite centrale (TLC) è uno dei risultati più importanti della statistica. Quale delle seguenti affermazioni lo enuncia correttamente?
Il TLC afferma che, sotto condizioni generali, la distribuzione campionaria di \(\bar{X}\) converge in distribuzione alla normale \(N(\mu, \sigma^2/n)\) al crescere di \(n\), qualunque sia la forma della distribuzione della popolazione (purché abbia media e varianza finite). Questo è straordinario: anche partendo da una distribuzione fortemente asimmetrica o discreta, la media campionaria si distribuisce approssimativamente come una normale per \(n\) sufficientemente grande. Il TLC non afferma nulla sulla distribuzione della popolazione: essa rimane invariata. La distribuzione di \(\bar{X}\) non converge alla distribuzione della popolazione, ma alla normale. Al crescere di \(n\) le medie campionarie si concentrano attorno a \(\mu\), ma non sono mai tutte identicamente uguali.
Un ricercatore misura il numero di episodi di pianto nei neonati nelle prime 24 ore di vita. La distribuzione nella popolazione è fortemente asimmetrica positiva con media \(\mu = 8\) e deviazione standard \(\sigma = 6\). Il ricercatore raccoglie campioni di \(n = 60\) neonati. Quale affermazione è corretta riguardo alla distribuzione di \(\bar{X}\)?
Il TLC si applica qui senza problemi: con \(n = 60\) (un campione di dimensioni moderate-grandi), la distribuzione di \(\bar{X}\) è approssimativamente normale \(N(8,\ 36/60) = N(8,\ 0.6)\), con errore standard \(\sigma/\sqrt{n} = 6/\sqrt{60} \approx 0.77\). La forma asimmetrica della popolazione non impedisce l'applicazione del TLC: la normalità approssimata di \(\bar{X}\) emerge proprio indipendentemente dalla forma della distribuzione originale. Il TLC si applica anche a variabili discrete, purché abbiano media e varianza finite. La trasformazione logaritmica è una strategia alternativa per normalizzare i dati grezzi, ma non è necessaria per applicare il TLC alla media campionaria.
Un ricercatore studia la distribuzione campionaria della media di una variabile con distribuzione della popolazione molto asimmetrica. Confronta tre dimensioni campionarie: \(n = 5\), \(n = 30\), \(n = 100\). Quale affermazione descrive correttamente l'effetto di \(n\) sulla distribuzione di \(\bar{X}\)?
Il TLC produce due effetti simultanei all'aumentare di \(n\): (1) la distribuzione di \(\bar{X}\) diventa progressivamente più simmetrica e campanoide (converge alla normale), correggendo l'asimmetria della popolazione; (2) la distribuzione si restringe attorno a \(\mu\), perché l'errore standard \(\sigma/\sqrt{n}\) diminuisce al crescere di \(n\). Con \(n=5\) la distribuzione di \(\bar{X}\) sarà ancora asimmetrica; con \(n=30\) già abbastanza normale; con \(n=100\) praticamente indistinguibile da una normale. La distribuzione di \(\bar{X}\) non rimane mai larga quanto quella della popolazione (a meno che \(n=1\)). L'asimmetria non si accumula: si diluisce. La forma cambia, non solo la media.
I punteggi di un questionario di qualità della vita hanno media \(\mu = 60\) e deviazione standard \(\sigma = 20\) in una popolazione con distribuzione non normale. Si estrae un campione di \(n = 100\) persone. Per il TLC, \(\bar{X}\) è approssimativamente \(N(60, 4)\). Dalla tavola: \(\Phi(1.00) = 0.8413\). Qual è la probabilità approssimata che la media campionaria sia superiore a 62?
Per il TLC, \(\bar{X} \sim N(60, \sigma^2/n) = N(60, 400/100) = N(60, 4)\), con errore standard \(\sigma_{\bar{X}} = 2\). Si standardizza: \(z = (62 - 60)/2 = 1.00\). La probabilità cercata è \(P(\bar{X} > 62) = P(Z > 1.00) = 1 - \Phi(1.00) = 1 - 0.8413 = \mathbf{0.1587}\). Il valore 0.8413 è \(\Phi(1.00)\): è la probabilità che \(\bar{X}\) sia inferiore a 62, non superiore. Il valore 0.3174 è il doppio di 0.1587: corrisponde all'area nelle due code oltre \(\pm 1\), non alla sola coda destra. Il calcolo è pienamente giustificato dal TLC anche se la popolazione non è normale, purché \(n\) sia sufficientemente grande (qui \(n=100\)).
In una popolazione di pazienti con disturbo d'ansia, i punteggi a un questionario hanno media \(\mu = 35\) e deviazione standard \(\sigma = 10\). Un ricercatore estrae molti campioni di \(n = 100\) pazienti ciascuno e calcola la media di ogni campione. Quale delle seguenti affermazioni distingue correttamente la distribuzione della popolazione dalla distribuzione campionaria di \(\bar{X}\)?
La distribuzione della popolazione descrive la variabilità dei singoli punteggi: \(\sigma = 10\). La distribuzione campionaria di \(\bar{X}\) descrive invece la variabilità delle medie campionarie da campione a campione: ha errore standard \(\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n} = 10/\sqrt{100} = \mathbf{1}\). Questa distinzione è fondamentale: la distribuzione campionaria è molto più concentrata attorno a \(\mu\) rispetto alla distribuzione della popolazione, e diventa ancora più stretta all'aumentare di \(n\). Confondere le due distribuzioni (usare \(\sigma=10\) al posto di \(\sigma_{\bar{X}}=1\) nei calcoli su \(\bar{X}\)) è uno degli errori più gravi e frequenti nell'inferenza statistica. Le due distribuzioni hanno la stessa media \(\mu = 35\).