Uno psicologo estrae un campione di \(n = 30\) studenti da una popolazione per misurarne il livello di stress. Prima della raccolta dei dati, i 30 punteggi sono variabili casuali \(X_1, X_2, \ldots, X_{30}\). Dopo la raccolta, i punteggi osservati sono \(x_1 = 42, x_2 = 37, \ldots, x_{30} = 55\). Quale affermazione descrive correttamente la distinzione tra campione casuale e campione osservato?
La distinzione è di natura probabilistica. Il campione casuale \(X_1, \ldots, X_n\) è una sequenza di variabili casuali, cioè quantità che prima dell'osservazione possono assumere diversi valori con certe probabilità: rappresenta il meccanismo aleatorio del campionamento. Il campione osservato \(x_1, \ldots, x_n\) è la realizzazione concreta di quel meccanismo: dopo aver raccolto i dati, i valori sono numeri fissi. Questa distinzione è cruciale: le proprietà delle statistiche (come la distribuzione campionaria) si riferiscono al campione casuale, non a quello osservato. Le altre opzioni confondono la randomizzazione del campionamento con l'assenza di criteri, con la distribuzione normale, o con la popolazione intera.
In un campione casuale semplice \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) estratto da una popolazione con media \(\mu\) e varianza \(\sigma^2\), quali sono le proprietà delle singole osservazioni campionarie \(X_i\)?
In un campione casuale semplice le osservazioni \(X_1, \ldots, X_n\) sono indipendenti e identicamente distribuite (iid): ciascuna \(X_i\) ha la stessa distribuzione della popolazione (quindi media \(\mu\) e varianza \(\sigma^2\)), e il valore di una non influenza la probabilità degli altri. Queste due proprietà — identica distribuzione e indipendenza — sono le ipotesi fondamentali su cui si basano tutte le proprietà delle statistiche campionarie. La varianza \(\sigma^2/n\) appartiene alla media campionaria \(\bar{X}\), non alle singole osservazioni. L'indipendenza è garantita dal campionamento casuale semplice (con reimmissione, o da popolazioni molto grandi). La distribuzione di \(\bar{X}\) è diversa da quella delle \(X_i\): ha la stessa media ma varianza ridotta di un fattore \(n\).
I punteggi di un test di autostima in una popolazione seguono una distribuzione con media \(\mu = 45\), varianza \(\sigma^2 = 64\) e forma asimmetrica positiva. Si estrae un campione casuale di \(n = 40\) osservazioni. Quali sono la media e la varianza della singola osservazione \(X_3\) (la terza estratta)?
Ogni singola osservazione \(X_i\) è una variabile casuale con la stessa distribuzione della popolazione: media \(\mu = 45\), varianza \(\sigma^2 = 64\), e forma asimmetrica positiva. Il fatto di far parte di un campione di ampiezza \(n\) non modifica la distribuzione della singola osservazione. La varianza ridotta \(\sigma^2/n = 1.6\) è la varianza della media campionaria \(\bar{X}\), non della singola \(X_i\). Il teorema del limite centrale si applica alla distribuzione di \(\bar{X}\), non a quella delle singole osservazioni: \(X_3\) continua ad avere distribuzione asimmetrica anche con \(n\) grande. Dividere la media per \(n\) è privo di fondamento statistico.
In uno studio sulla soddisfazione lavorativa degli psicologi italiani, si interroga un campione di 200 professionisti. La media dei punteggi del campione è 72, mentre la media di tutti gli psicologi italiani è 68. Quale delle seguenti affermazioni usa correttamente i termini parametro e statistica?
Un parametro è una misura numerica che descrive una caratteristica della popolazione: qui \(\mu = 68\) è la media di tutti gli psicologi italiani. Una statistica è una funzione calcolata sui dati del campione: qui \(\bar{x} = 72\) è la media campionaria. La distinzione è concettuale, non legata alla precisione: il parametro è tipicamente ignoto e la statistica ne è una stima. Affermare che entrambi siano parametri confonde il livello descrittivo con quello inferenziale. Affermare che entrambi siano statistiche ignora che il parametro descrive la popolazione nella sua interezza, non un campione.
Un ricercatore ripete più volte la stessa procedura: estrae un campione di \(n = 50\) studenti, calcola la media campionaria \(\bar{X}\), e annota il risultato. Ottiene valori diversi ogni volta: 61.3, 58.7, 63.1, 60.4, ... Quale affermazione spiega correttamente questo fenomeno?
Una statistica è una funzione delle osservazioni campionarie, che sono variabili casuali. Quindi anche la statistica è una variabile casuale, e il suo valore cambia da campione a campione: questa variabilità è descritta dalla distribuzione campionaria. È un fenomeno normale e atteso, non un errore. La variabilità non scomparirà mai del tutto aumentando \(n\): aumentare \(n\) riduce l'errore standard (la dispersione della distribuzione campionaria), ma non lo annulla. La popolazione ha una media definita \(\mu\): è la statistica \(\bar{X}\) che varia, non il parametro. Comprendere che le statistiche sono variabili casuali è il fondamento concettuale dell'inferenza statistica.
I punteggi di un test di memoria sono distribuiti normalmente nella popolazione con media \(\mu = 20\) e varianza \(\sigma^2 = 9\). Si estrae un campione casuale di \(n = 5\) osservazioni indipendenti \(X_1, \ldots, X_5\). Qual è la distribuzione esatta della statistica somma \(S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5\)?
Poiché le \(X_i\) sono iid normali, la loro somma è esattamente normale per qualsiasi \(n\) (proprietà riproduttiva). La media della somma è \(E(S) = n\mu = 5 \cdot 20 = 100\) e la varianza è \(\text{Var}(S) = n\sigma^2 = 5 \cdot 9 = 45\). Quindi \(S \sim N(100, 45)\) esattamente, senza bisogno di approssimazioni. Confondere la distribuzione di \(S\) con quella della singola \(X_i\) (\(N(20,9)\)) è l'errore di chi dimentica che la somma trasforma sia la media che la varianza. Tenere la varianza a 9 ignorando il fattore \(n\) è un errore di calcolo. Con popolazione normale la distribuzione è esatta per qualsiasi \(n\), anche piccolo.
I punteggi di un test di intelligenza emotiva sono distribuiti normalmente nella popolazione con media \(\mu = 100\) e varianza \(\sigma^2 = 225\). Si estrae un campione casuale di \(n = 9\) osservazioni. Qual è la distribuzione esatta della media campionaria \(\bar{X}\)?
Con popolazione normale la distribuzione di \(\bar{X}\) è esattamente normale per qualsiasi \(n\), anche piccolo, grazie alla proprietà riproduttiva: \(\bar{X} \sim N(\mu,\ \sigma^2/n) = N(100,\ 225/9) = N(100, 25)\), con errore standard \(\sigma/\sqrt{n} = 15/3 = 5\). Usare la varianza della popolazione \(\sigma^2 = 225\) per \(\bar{X}\) è l'errore di chi dimentica di dividere per \(n\). Moltiplicare la varianza per \(n\) (\(9 \times 225 = 2025\)) è la regola per la somma \(S\), non per la media \(\bar{X}\). Il requisito \(n \geq 30\) è una regola pratica per il TLC con popolazioni non normali: con popolazione normale la distribuzione di \(\bar{X}\) è esatta per qualsiasi \(n\).
Il numero di sedute di psicoterapia seguite da pazienti in un anno ha nella popolazione una distribuzione fortemente asimmetrica con media \(\mu = 12\) e varianza \(\sigma^2 = 36\). Si estrae un campione di \(n = 50\) pazienti. Qual è la distribuzione approssimata della statistica somma \(S = \sum_{i=1}^{50} X_i\)?
Per il teorema del limite centrale, con \(n = 50\) sufficientemente grande, la somma \(S = \sum X_i\) ha distribuzione asintoticamente (approssimativamente) normale: \(E(S) = n\mu = 50 \cdot 12 = 600\) e \(\text{Var}(S) = n\sigma^2 = 50 \cdot 36 = 1800\). Il simbolo \(\stackrel{\text{a}}{\sim}\) indica che si tratta di un'approssimazione, non di una distribuzione esatta come nel caso normale. La distribuzione di \(S\) non coincide con quella della singola \(X_i\): ha media e varianza \(n\) volte più grandi. La varianza di \(S\) è \(n\sigma^2 = 1800\), non \(\sigma^2 = 36\). Il TLC si applica anche con popolazioni non normali purché \(n\) sia sufficientemente grande e la varianza sia finita.
Il numero di ore settimanali di studio autonomo degli studenti universitari ha nella popolazione una distribuzione asimmetrica positiva con media \(\mu = 18\) e deviazione standard \(\sigma = 8\). Si estrae un campione casuale di \(n = 64\) studenti. Qual è la distribuzione approssimata della media campionaria \(\bar{X}\)?
Per il TLC con \(n = 64\) (ampiezza sufficiente): \(\bar{X} \stackrel{\text{a}}{\sim} N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^2}{n}\right) = N\!\left(18,\ \frac{64}{64}\right) = N(18,\ 1)\). L'errore standard è \(\sigma/\sqrt{n} = 8/\sqrt{64} = 8/8 = 1\). Il simbolo \(\stackrel{\text{a}}{\sim}\) indica un'approssimazione asintotica: la distribuzione diventa più vicina alla normale al crescere di \(n\), ma non è mai esattamente normale (a differenza del caso con popolazione normale). Usare \(\sigma^2 = 64\) invece di \(\sigma^2/n = 1\) è l'errore più comune: confonde la varianza della popolazione con la varianza di \(\bar{X}\). Il valore 8 come varianza confonde varianza e deviazione standard. Il TLC si applica esattamente per risolvere il problema della non-normalità della popolazione.
Due ricercatori studiano la distribuzione campionaria di \(\bar{X}\) in due situazioni diverse. Il Ricercatore A campiona da una popolazione normale con \(\mu = 50\), \(\sigma^2 = 16\), con \(n = 8\). Il Ricercatore B campiona da una popolazione non normale con \(\mu = 50\), \(\sigma^2 = 16\), con \(n = 8\). Entrambi usano \(\bar{X} \sim N(50, 2)\) nei loro calcoli. Chi è giustificato nel farlo?
Con popolazione normale, la distribuzione di \(\bar{X}\) è esattamente \(N(\mu, \sigma^2/n)\) per qualsiasi \(n\), anche \(n=8\): il Ricercatore A è pienamente giustificato. Il Ricercatore B invece non può invocare il TLC con \(n=8\): il TLC garantisce la normalità approssimata di \(\bar{X}\) solo per \(n\) sufficientemente grande (convenzionalmente \(n \geq 30\) come regola orientativa, ma dipende dall'asimmetria della popolazione). Con \(n=8\) e popolazione non normale, l'approssimazione normale potrebbe essere inaccettabile. Il TLC non si applica con \(n\) fisso e piccolo: è un risultato asintotico. La normalità della popolazione è la condizione che rende esatta, non approssimata, la distribuzione di \(\bar{X}\).
I punteggi di una scala di stress lavoro-correlato hanno nella popolazione media \(\mu = 24\) e varianza \(\sigma^2 = 100\), con distribuzione non normale. In un'azienda vengono valutati \(n = 100\) dipendenti. Per il TLC, la somma \(S = \sum_{i=1}^{100} X_i \stackrel{\text{a}}{\sim} N(2400,\ 10000)\). Dalla tavola: \(\Phi(1.00) = 0.8413\). Qual è la probabilità approssimata che la somma dei punteggi superi 2500?
Per il TLC: \(S \stackrel{\text{a}}{\sim} N(2400, 10000)\), con deviazione standard \(\sqrt{10000} = 100\). Si standardizza: \(z = (2500 - 2400)/100 = 1.00\). La probabilità cercata è \(P(S > 2500) = P(Z > 1.00) = 1 - \Phi(1.00) = 1 - 0.8413 = \mathbf{0.1587}\). Il valore 0.8413 è la probabilità che \(S\) sia inferiore a 2500. Il valore 0.3174 è l'area totale nelle due code oltre \(\pm 1\sigma\), non la sola coda destra. Il TLC è precisamente il teorema che giustifica l'uso della normale per \(S\) anche con popolazione non normale: con \(n = 100\) l'approssimazione è ottima.